含参不等式恒成立问题解法漫谈

焦海廷

摘 要：含参数不等式的恒成立求参数范围问题常用解法：利用一次函数的性质去求参数；若二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）对一切实数恒成立，可由Δ<0与a=0，a>0，a<0结合求参数；若二次不等式在某一区间上恒成立，由二次不等式相应函数在这个区间上的最值求解，即f（x）≤a（或f（x）≥a）恒成立■ f（x）max≤a或f（x）min≥a是分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；非二次不等式在某一区间上恒成立，由不等式分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解；某些不等式恒成立问题可转换为求函数或不等式的最值问题，由此来求参数。

关键词：含参不等式恒成立；分离参数；一次函数；二次函数；最值

“含参数不等式的恒成立”问题，是近几年高考的热点，涉及一次函数、二次函数的性质、圖像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种方法。

一、利用一次函数的性质去求参数。

例1.对于满足p≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围。

解析：在不等式中出现了两个字母：x及p，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

不等式即（x-1）p+x2-2x+1>0，设f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，则f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0f（2）>0即x2-4x+3>0x2-1>0解得：x>3或x<1x>1或x<-1.

∴x<-1或x>3.

二、若二次不等式f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，x∈R）对一切实数恒成立，可由Δ<0与a=0，a>0，a<0结合求参数。

例2.若不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）m-1≠0时，只需m-1>0Δ=（m-1）2-8（m-1）<0

所以，m∈[1，9）。

三、若二次不等式在某一区间上恒成立，由二次不等式相应函数在这个区间上的最值求解，即f（x）≤a（或f（x）≥a）恒成立■ f（x）max≤a或f（x）min≥a是分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解。

例3.（天津文10）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）

A.[■，+∞） B.[2，+∞）

C.（0，2] D.[-■，-1]∪[■，0）

解析：∵f（x+t）≥2 f（x）即（x+t）2≥2 x2

即x2-2tx-t2≤0在x∈[t，t+2]上恒成立，

由对称轴为x=t，令g（t）=x2-2tx-t2，

只需g（t）max≤0即g（t+2）≤0

∴t≥■

四、非二次不等式在某一区间上恒成立，由不等式分离参数后，利用函数在这一区间上的最值求解。

例4.求使不等式a>sinx-cosx，x∈[0，π]恒成立的实数a的范围。

解析：由于a>sinx-cosx=■sin（x-■），x-■∈[-■，-■]，显然函数有最大值■，∴ a≥■。

五、某些不等式恒成立问题可转换为求函数或不等式的最值问题，由此来求参数。

例5.设实数x，y满足x2+（y-1）2=1，当x+y+d≥0恒成立时，d的范围是（ ）

解析：要使x+y+d≥0恒成立，只需d≥（-x-y）max，

∵（x，y）满足方程x2+（y-1）2=1，则设

x=cosα，y=1+sinα

-x-y=-cosα-sinα-1

=-■sin（α+■）-1

其最大值为■-1 ∴d≥■-1

？誗编辑 董慧红