关于Young不等式的几点推广

汪云峰，王丹丹，刘建波

（东北大学秦皇岛分校 数学与统计学院，河北 秦皇岛 066004）

关于Young不等式的几点推广

汪云峰，王丹丹，刘建波

（东北大学秦皇岛分校 数学与统计学院，河北 秦皇岛 066004）

对Young不等式的成立条件做了一些变化而形成了一些新的不等式，给出了Young不等式的多维形式，并且推广了Young不等式的成立范围，并给出了多种证明。

Young不等式；Jensen不等式；数学归纳法

Young不等式是一类非常重要的基本不等式，由Young不等式可以推导出许多有用的不等式，比如Holder不等式，Minkowski不等式，Cauchy不等式。在不同的文献资料中，Young不等式有多种不同的表现形式，[1]、[3]是以积分的形式给出的，本文的描述方法则与[2]中的说法相一致，在不同的学科里Young不等式的表现形式也有所差异。

1 Young不等式

设p＞1，q＞1且

对任意的a，b＞0，

成立，且等号成立的充分必要条件是pqa=b。

2 Young不等式的推广与证明

对Young不等式的条件加以改变，有以下几种推广方式[7,8]：

1）当p＜1且p≠0时，讨论不等号的变化。

2）扩展维数。即设

的大小关系。

3）当

时，讨论不等式的变化。

下面对这三种推广做具体的讨论证明。在展开具体的讨论之前，给出如下的一个引理。

引理当x＞0，α-β=1时，有

引理1的内容与Bernoulli不等式等价，为了论述的方便，我们将其作为引理。

定理1设p＜1，p≠0且

对任意的a，b＞0

成立，且等号成立的充分必要条件是pqa=b。

证法一。根据引理，取α=p，得到：

又p＜1，p≠0，所以当等号成立时当且仅当x=1，也就是ab=bq，进一步可以推导得ap=bq。

故所证结论成立，证毕。

证法二。设f( x)在［c, d］上是严格单调非负递减函数，对［c, d］进行n等分，使得c=x0＜x1＜…＜xn=d ，由于f( x)在［c, d］上是严格单调递减函数，所以根据Riemann可积的定义，有：

所以有

特别的，

1）若将f( x)定义在［0,a］即取c=0，d=a则，

2）若将f( x)定义在（0，∞）上，并且假定：

f-1(x)为f( x)的反函数，广义积分

收敛，则存在ε＞0，使得当x∈(0,ε)时，f( x)＞0，从而

又由广义积分（1）收敛，可以推出

由夹逼性准则得到

所以，对于∀ε∈(0,a)，

1）当f（ b）＞a＞0时，

综上，可以得到

特别地，取f( x)=xq-1(q＜1，q≠0)，对于∀a，b＞0，p＜1，p≠0，且

则

故所证结论成立，证毕。

定理2设p1,p2,…,pn＞1，a1, a2, …, an＞0，且

则

证法一[5]。

1）由引理可以得：当α≤1时，

即得

化简后得到

根据式(2)，可以得：

化简得

同理，可以得：

以此类推，将n个不等式相加后得：

时，以下不等式成立

则

综上所述，不等式

成立，其中ak＞0，pk＞1，（1≤k≤n） 且

故所证结论成立，证毕。

证法二。利用数学归纳法进行证明[4,6]。

当k=2时，由Young不等式可知结论成立。假设对k=n-1时结论成立，现证明对k=n时也成立。

令

则

由归纳法

由以上两式可得：

所以对k=n时不等式也成立。综上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

证法三。利用Jensen不等式可以直接推出结论。

根据凸函数的Jensen不等式，设f( x)为任意凸函数，bi＞0且

则

成立。取f( x)=lnx (x ＞0)，显然f( x)为凸函数。所以

成立，其中

所以

可得

由f( x)=lnx (x ＞0)的单调性可得

综上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

以上两个定理在相关文献中已经有一些结论出现，并且也有类似的证明过程，接下来定理3及其推论将给出Young不等式更一般的推广。

定理3 设p＞1，q＞1

对任意的a，b＞0，

成立，当且仅当r∈（0，1］，且等号成立的充分必要条件是ap=bq，p+q=pq。

证明由引理，当α≥1时，xα≥αx -β，令

代入得

化简得

又有

代入得

化简得

等号成立时当且仅当x=1，r=1也就是ab=bq，p+q=pq，亦即ap=bq，p+q=pq。

证毕。特别地，可以得到推论1及推论2。

推论1设p＞1，q＞1，

对任意的a，b＞0，

成立，且等号成立的充分必要条件是pqa=b，p+q=pq。

推论2设p＞1，q＞1，

对任意的a，b＞0，

成立，且等号成立的充分必要条件是pqa=b。

[1] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(第3版)[M].中国科学技术大学出版社,2012:305-306.

[2] 匡继昌.常用不等式(第四版)[M].山东科学技术出版社, 2012:295.

[3] 胡克.解析不等式的若干问题[M].武汉大学出版社, 2007:13-14.

[4] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya.越民义,译.不等式[M].科学出版社,1965:38-40.

[5] 胡克.论一个不等式及其若干应用[J].中国科学,1981, 31(2):141-148.

[6] 楼宇同.Young不等式,Holder不等式与Minkowski不等式的新证法[J].南京航空学院学报,1990,22(4):128-133.

[7] 曾书庆.Young不等式的若干推广[J].吉安师专学报(自然科学),1994,14(6):25-28.

[8] 匡继昌.一般不等式研究在中国的新进展[J].北京联合大学学报(自然科学版),2005,18(1):29-36.

（责任编辑、校对：赵光峰）

On the Generalizations for Young Inequality

WANG Yun-feng, WANG Dan-dan, LIU Jian-bo
(School of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China)

Some changes are made on the condition of Young inequality’s establishment to form a new inequality. The form of the multidimensional Young inequality is given. And the range of the condition of Young inequality’s establishment is generalized. A variety of proofs are put forward.

Young inequality; Jensen inequality; induction

O178

A

1009-9115(2014)02-0021-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.006

2013-10-10

汪云峰（1992-），男，安徽安庆人，本科生，研究方向为不等式。

刘建波（1978-），男，河北遵化人，博士，副教授，东北大学硕士研究生导师。