《概率论与数理统计》教学改革与学生实践能力的培养*

李 静，黄静静

(1.中国劳动关系学院 基础部，北京 100048；2.北京信息科技大学 理学院，北京 100192)

《概率论与数理统计》作为一门专门讲述概率方法和统计方法的课程，与《高等数学》(或《微积分》)和《线性代数》一起构成了我国高校理工科和绝大多数文科专业的三门核心数学课程。与其他两门课程稍有不同的是，《概率论与数理统计》中涉及的理论和方法大都来自于生活中的实际问题，在现实生活中有很强的实用性。通过该课程的学习，学生不但要从理论上掌握相关的知识点，更要具备利用所学知识分析和解决实际问题的能力。然而，通过我们自己的教学经验和相关的调查发现，目前《概率论与数理统计》在内容设置和教学方法上都存在着严重的缺陷，不能适应目前社会经济形势对学生综合能力的要求。

值得说明的是，虽然目前大学课堂教学关于学生实践创新能力培养和重视不够，但这种缺陷在传统考试方式下并不能得以体现。传统培养模式导致的弊端往往在学生进入实际工作岗位后才表现出来，反映出学校培养与社会需求的严重脱节。与此稍有不同的是，《概率论与数理统计》现有教学模式缺陷导致学生实践能力较弱却直接地表现在数学建模竞赛中。数学建模竞赛有很多题目是关于数据分析的，要用到概率统计方法。然而学生在面对这类题目时，往往表现出课堂所学知识不够，实际操作能力缺乏等。针对上述问题，近年来如何对《概率论与数理统计》进行改革以更好的培养学生的实践创新能力引起了广泛的关注，有的从教学方法上进行讨论，有的从教学内容改革上进行讨论。

本文将以培养和提高学生实践能力为目标，论述目前《概率论与数理统计》教学模式中存在的问题，并提出相应的改革建议。

一、现有教学模式存在的问题

(一)从课程内容设置和课时安排上，存在重概率轻统计的问题

《概率论与数理统计》课程的教学内容主要有概率和数理统计两个部分。前者包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征和极限定理 (大数定律和中心极限定理)四个部分;后者一般包括数理统计的基本概念、参数估计和假设检验三个部分。从课时上来讲，绝大多数专业都是讲授一个学期，每周3学时(大部分学校合计为54学时)。在这种内容和学时设置下，概率论相关内容占用将近三分之二的课时，到了数理统计部分就没有足够的时间进行详细讲解，从而造成很多学生对统计方法所学不深，所需要的统计方法没有正确理解，更谈不上利用所学的知识解决实际问题。

(二)从课程内容来看，强调数学公式推导，轻视统计思想和应用背景的介绍

现有《概率论与数理统计》教材大都强调数学公式和推导，概念的数学表达和定理的数学证明是教学的重点内容。很多学生在这种教学模式下感觉该课程仍然是一门数学课程，很少或者不能体会到其应用性。其实不同于其它数学课程，《概率论与数理统计》的知识点都有着较强的实际背景，有很强的实用性。

(三)课程中实际例子数据量较少，没有软件介绍

《概率论与数理统计》课程中所涉及的实际例子大都是经过简化的。一方面是数据量很少，参数估计和假设检验部分涉及到的实际数据大都是10个数据左右，有关的计算都是在草稿纸上手工进行。而在实际问题分析中，有时候数据量是非常大的。以近几年的全国大学生数学建模竞赛试题为例，2013年的交通事故对交通堵塞的影响，2012年的葡萄酒问题，2011年的土壤中重金属浓度问题，都需要处理和分析大量的数据。因此对于学生来说，掌握如何使用计算机 (统计软件)进行实际数据分析是非常必要的。另一方面，很多统计方法的使用是有其前提条件的，但是由于书中的例子都是经过简化的，所以学生很少去想其前提条件，从而不能很好的掌握具体方法的使用范围。比如，假设检验部分都是关于正态总体的检验问题，例题中都做了“来自于正态总体”这种假设，这种设置下学生就很少或者根本就不去考虑如果实际数据不是来自于正态总体怎么办，以及如何判断一组实际数据是否来自于正态总体等等这些很重要的问题。从而造成学生不从实际问题出发，而滥用统计方法的现象。

二、《概率论与数理统计》课程改革具体建议

(一)调整教学内容，突出统计方法和实际数据分析的讲授

为了培养学生的实践能力，应该让学生清楚地了解所学知识与实际问题之间的联系，让学生直接面对实际问题进行分析和解决。因此，要相应的调整该课程的教学内容。基于目前课程内容较多而课时较少的现状，一个解决方案是在原来的基础上增加课时，增加的课时要有针对性的培养学生实际操作能力，比如在原来54学时的基础上增加18个上机 (实验)课时。

上机这部分课时主要讲授软件的操作。按照目前学生的实际情况，可以选择Excel软件。虽然Excel软件不是专门的统计分析软件，但是其统计分析功能十分强大，足以解决一般的统计分析问题，概率论与数理统计中所涉及的方法在Excel中都可以实现。具体来讲，在随机变量及其分布部分，其中很大一部分问题涉及到具体的分布及概率的计算，传统教学都是要求学生掌握教材附录中的常用分布的分位数表。实际上，利用Excel函数中的“统计函数” (打开 Excel，依次选择“插入”— “函数”— “统计”)，可以很方便的求取几种常用分布有关的概率运算。以正态分布为例，函数 NORMDIST(x，Mean，Standard-dev，Cumulative)可以求取正态分布的分布函数值 F(x)和概率密度函数值 f(x)。例如NORMDIST(3，0，1，1)就是对于服从均值为0，标准差为1的正态分布X求其F(3)，而NORMDIST(3，0，1，0)则是对于该分布求其f(3)。此外，假设检验部分可以借助于计算机进行，一是可以利用Excel进行数据的计算，二是可以直接利用Excel的“数据分析”模块中的检验功能。在教学中引入Excel软件，一方面提高了学生的学习兴趣和动手操作能力;另外一方面，可以在传统例题和习题的基础上增加一些数据量较大的题目，比如可以用往年的数学建模试题中的数据，让学生用软件进行分析，以提高学生分析和解决实际问题的能力。

除了增加课时之外，对于概率论部分的教学内容也要适当调整。比如随机事件及其概率部分内容可以适当压缩，比如古典概型部分，由于大部分学生在高中学过排列组合和部分概率的基本知识，所以没有必要再花费很多的时间。

(二)改变教学方法，加强知识点实际背景的介绍

目前教学模式下，知识点的引入往往是以数学表达的形式强加给学生，比如几种常用的分布，参数估计与假设检验等。教材中虽然也有相关的实际背景介绍，但往往就是简短的几句话。如果授课教师不能很好的展开的话，往往起不到预期的效果。针对《概率论与数理统计》课程的实际特点，建议对知识点的引入加强实际背景的介绍，与实际问题结合起来，使学生能深入的了解其实质。比如对于正态分布的介绍，可以先让学生观察几组实际数据，比如100名学生的身高，或者利用Excel“数据分析”中的“随机数”功能产生几组服从正态分布的数据，让学生结合直方图观测这些实际数据的分布特征归纳出这类数据的主要特点，接下来便让学生思考如何把这些特征用数学来刻画和表达。这样引出正态分布的定义，给学生的感觉就不会仅仅是一个数学公式。同样在假设检验部分，假设检验的定义以及第一类错误、第二类错误等概念对于很多学生来说有些抽象，理解起来不那么容易，教师可以借助于一些实例帮助学生在很短的时间内掌握假设检验的实质。比如以一个骰子为例，我们怎么才能验证它是否均匀，除了采取物理手段以外，我们还可以采用实验的手段让学生思考，如果这枚骰子没有问题，那么1点至6点出现的概率应该一样。如果实际抛600次的话，那么1点至6点出现的次数应该都接近100。这600次的试验结果其实就是我们的样本数据，我们要做的就是利用这一组样本数据去检验骰子是否有问题这一总体的问题。那么怎么用600次的结果去判断骰子是否均匀呢?可以让学生思考，假如600次中恰好每个点对应100次，是否就说明骰子没有问题?另外假如600次中出现都是6点这种极端情况，能否说明骰子一定有问题?通过这个简单的例子可以让学生很容易就能理解和总结出假设检验的有关原理，比如假设检验的用途，拒绝或无法拒绝这种结论是否是绝对的，第一类错误和第二类错误的真正含义，以及为什么这两类错误无法避免，等等。

(三)加强综合训练，改变考核方式

在传统教材和教学中，习题和练习都是对应于教学内容的，因此学生得到的是具体的限制性的训练，不需要考虑方法的使用，从而没有得到综合性的训练，这往往会导致学生在面对实际问题时无从下手。另外一方面，传统的考试方式使学生将时间和精力用在了数学公式的推导和证明上，忽视了实践能力的培养。在讲完所有方法之后，教师应该加强综合性案例的讲解和相应的训练。比如布置一些实践性的问题让学生去做，作为最后成绩的重要组成部分。可以选择一些与生活紧密相关，又不需要投入过多的时间和精力的问题，比如“某个时间段单位时间内经过我校门口车俩数大于100辆车的概率是多大?”或者“我校大一学生和大二学生的月消费是否有显著差异”。对于这样的问题，就不再是单纯的往一个数据上套某种具体方法了，而是从数据的收集，到数据的描述分析，再到最后的检验问题都需要学生去解决。比如，收集到的数据能否认为来自于一个正态总体，这是需要通过具体的统计方法来判断的。进一步，如果可以认为调查数据来自正态总体，那么就可以使用所学的关于正态总体的检验方法。如果不能认为调查数据来自正态总体，那么所学的正态总体检验方法就不能使用，而要去学习和使用其它方法。通过整个过程的锻炼，学生加深了对实际问题和统计方法的认识，从而才真正掌握了具体的统计方法，提高了自己的实践能力。

随着社会经济的发展和科技的进步，政府部门、大中型企业和咨询机构都面临大量的数据处理工作，包括数据采集、存储、分析、展示、解释、推断、预测等，这些工作都属于统计的基本范畴。因此，数据分析和统计建模能力应该成为所有大学生必须具备的基本能力。要想达到这一目标，培养学生的这种能力，《概率论与数理统计》课程要进行相应的教学改革。本文主要从课程内容的调整和教学方法的改变等几个方面做了讨论，当然，学生实践能力的培养和提高需要多个方面的共同努力。

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