舱段截断时边界条件的选取方法

丁 宏，陈美霞，魏建辉，谢 坤

(华中科技大学，湖北 武汉 430074)

0 引 言

工程中对船舶等结构进行动态分析时，如果对全船进行分析，结构十分复杂，计算量十分庞大，还有许多并不关心的特性会影响分析结果。因此如果只关心某个舱段的响应特性，为了建模和分析方便，不需建立整船的有限元模型。对所关心舱段进行计算分析，单个的舱段模型能否代替多舱段，却研究不多。

Yoshikawa[1]等分析表明，对于简单壳体，在一定频率以上，舱段的振动特性与无限长结构的振动特性比较接近，也就是说结构的截断对振动的影响不是很大。对于潜艇等较为复杂的系统，殷学文[2]等认为，在低于艇体舱段第一阶弹性频率的频段上，用单舱段来模拟整个艇体，壳体表面振速误差较大，不能用单舱段模拟整艇来进行定量分析。李鹏[3]等对散货船全船三舱段与独立三舱段进行对比分析，对全船采用惯性释放方法，比较了与独立三舱段的相当应力，表明独立三舱段的结果偏高，与实际相差较大。沈顺根[4]等研究认为，在低于艇体第一阶弹性频率的频段内，单舱段模型不能反映艇体的总振动。

根据瑞利约束定理[5]，加约束使固有频率提高，且新的固有频率出现在原来的2个固有频率之间。根据这个理论，可以调整结构的边界条件来对固有频率等动态特性进行一定的控制。蔡青[6]利用三向约束的方法分析单舱段的谐响应特性，但并没有与全船模型进行比较来分析约束的影响。边界条件应该如何设置才能使单舱段的动态响应比较接近于在全船中的响应，或者说结构的截断时边界条件如何选取，在工程中具有实际意义。

1 结构连续的边界条件

描述圆柱壳的理论有多种，采用Flügge壳体理论[7]来描述圆柱壳的振动在频率不太高时具有较高的精确度，该理论将环肋结构均视为作用在圆柱壳上的动反力，圆柱壳的振动方程如下所示：

[l][uvw]T+D([F]+[fr]+[fs])=0。

(1)

图1 圆柱壳和舱壁的位移及内力示意图Fig.1 Displacements and forces of cylindrical shells and bulkhead

舱段之间通过舱壁等结构隔开，分为一个个相对独立的结构。对于圆柱壳舱段，舱壁和端板的作用也需要考虑。

对于直接相邻的结构，在连接处需要满足一定的连续性条件。记全船模型各舱段圆柱壳的编号为q(q=1～5)，舱壁(含端板)编号为p(p=0～5)。圆柱壳的轴向、周向和径向的位移分别记为wq，vq和uq，舱壁和端板的轴向、轴向和径向分别记为up、vp和wp。为了简化分析，只考虑舱段一端的边界条件，因此取舱段1。在舱壁1处(p=1，q=1～2)，满足以下条件：

Nφ,1=0,

2 数值算例

采用有限元软件Ansys建模，计算由5个舱段构成的全船模型与不同边界条件的单舱段模型在模态和谐响应方面的异同，以选取一种边界条件，使单舱段的振动特性比较接近于该舱段在全船中的特性。

2.1 模型介绍与边界条件

各模型的结构材料为钢材，具体的物理参数为：密度ρ=7 800 kg/m3，弹性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。

采用的全船模型尺寸为：总长L=5.25 m，半径R=0.425 m，肋距l=0.075 m，肋骨尺寸0.004 m×0.033 m，壳体厚t=0.004 m，每隔1.05 m设置一道舱壁，舱壁厚0.012 m，两端板结构与舱壁相同，如图2(a)所示。单舱段模型长度l=1.05 m，其他尺寸与整体模型一致，结构如图2(b)所示。

图2 算例模型(半剖)Fig.2 Geometry of analysis models

为了便于比较，分析边界条件影响时，取全船模型最右端的第I舱段(以下简称全船模型)与单舱段模型比较，这样只需要对单舱段模型的一端赋予一定的边界条件，包括三向位移约束、Z向(轴向)位移约束、X向和Y向简支约束以及不约束等状态。

2.2 模态分析

先重点分析全船模型的模态，该模型两端均为自由状态。整体模型的模态可分为船体梁模态、舱段模态和舱壁模态等。从计算结果来看，在第一阶舱段频率(414 Hz)以下，主要是船体梁模态和舱壁模态。在第一阶舱段模态出现时，舱壁位置成为圆柱壳舱段振动的节点，在此位置，不仅位移连续，转角也连续。

图3 全船模型的船体梁模态与舱段模态Fig.3 Ship girder mode and cabin mode of the whole ship model

由于全船模型由5个相同舱段组成，各舱除边界条件外结构完全一样，因此在同一个频率附近往往出现多个相似模态。在第一阶舱段频率之上，随着频率增加，舱壁等局部模态很多，这里只考虑I舱的舱段模态。

从全船模型和单舱段模型的模态分析结果中，可以找到一些整体模型的I舱段与单舱段模型相对应的模态。各模型的模态云图具有较高的相似度，固有频率则有一定差别。

对照模态云图，可以将单舱段圆柱壳对应模态的固有频率列出来，与全船模型的I舱段进行对比，结果如表1所示。

表1 各模型相同模态下的固有频率/Hz

注①：指的是各单舱段模型与全船模型对应振型的固有频率相差的百分比。

从上面的模态分析可知，全船模型模态比较丰富，许多全船结构的舱段模态在单舱段模型中没有出现，这是因为这些模态并不是I舱的固有模态，而是船体其他舱段的固有模态，或者舱段之间的耦合模态。

比较舱段圆柱壳模态的固有频率可知，三向约束单舱段的固有频率偏大，有些模态的固有频率比全船模型高1%左右，但有些模态，比如呼吸模态(n=0)，固有频率相差达到10.8%，已经超出工程应用允许的范围；Z向约束单舱段的固有频率与全船模型差别在0.1%～5%之间；自由条件下，舱段的固有频率偏低，与全船模型相差最大的约为2.9%左右。X向和Y向简支约束单舱段模型比全船模型相同模态固有频率略低，差别在0.02%～1.26%之间，是各种约束方法中差别最小的。

比较固有频率可知，完全自由舱段<约束X，Y向舱段<约束三向舱段，约束越强，固有频率越高。从固有频率而言，将舱段截断处理为约束X向和Y向的位移比较合理。

2.3 谐响应分析

本文同时比较不同边界条件对谐响应的影响，模型及边界条件与模态分析时一致。激励为点作用力，位置在分析舱段中央的底部，方向垂直于圆柱壳表面。由于作用力的具体大小并不影响各模型响应的相对大小关系，这里简单地取为单位力。计算频率取0～800 Hz，间隔1 Hz。

图4 激励点处的速度响应对比Fig.4 Velocity response comparison of the excited point

图5 圆柱壳响应均方根速度对比Fig.5 Mean square velocity comparison of the cylindrical shells

从谐响应的计算结果曲线对比可以看出：X向和Y向简支约束舱段与全船模型最为接近，在一阶舱段频率(414 Hz)以上时与全船模型基本吻合。采用三向约束或轴向位移约束的单舱段模型相对与全船模型相比，固有频率较高，响应曲线向右移动，特别是在0.6倍环频率(600 Hz)以下的频段；全自由单舱段模型相对于全船模型固有频率较低，响应曲线则向左移动。在0.6倍环频率以上时，不同的边界条件对响应的影响较小，说明频率较高时结构响应对边界条件的变化不敏感，可以比较随意地选择一种边界条件来模拟全船模型的连续性条件。

XY双向简支约束的单舱段模型响应曲线的峰值均处在一组全船模型I舱段的响应峰当中，而其他约束条件下的单舱段模型则与全船模型的响应峰谷频率有一定的偏差。也就是说，XY双向简支约束的单舱段模型能较好地代表全船模型I舱段的主要模态。

采用XY向简支约束能较好地模拟全船结构，原因可能是舱壁在XY面内的刚度、相邻舱段的弯曲刚度对本舱段圆柱壳在舱壁平面内具有较强的约束作用。这种约束作用与对圆柱壳的XY向进行简支的效果比较相似，因而这2个模型的响应结果比较类似。

具体到响应曲线的每一个峰谷位置，在模态分析中均能找到对应的固有模态。其中，当轴向半波数为奇数(m=1，3…)时，激励点处于波腹位置，此时输入功率较大，舱段的均方振速较大，响应曲线出现峰值；当轴向半波数为偶数时，激励点处于波节位置，此时外力不能激起对应模态，输入功率较小，结构的均方振速出现极小值。除舱段模态会引起响应曲线的波动之外，舱壁处的模态等也会引起响应的变化。

全船模型I舱段在分析频带内的峰谷较多，这是因为全船模型有5个相同的舱段，作用在I舱的激励力也会激起其他舱段的模态，因此单舱段模型出现的模态在全船模型中可能出现多次；如果再考虑耦合模态和空间的对称性，则在相近频带里，全船模型还会出现更多的固有模态，因此采用单舱段和一定的边界约束条件并不能完全代替全船结构的连续性条件。

全船模型的响应曲线在112 Hz、522 Hz处出现峰值，而其他单舱段模型并没有出现。通过模态分析可知，这对应的是全船模型的整体模态，单舱段模型并没有这些固有模态。112 Hz对应的是舱段在X方向上的一阶船体梁模态，其模态云图如图6(a)所示。抽取全船外壳侧面一条直线上的节点，其X方向上的节点位移随轴向位置的变化如图6(b)所示，这条曲线基本上可以代表船体梁的模态。在522 Hz附近时，舱段之间发生方向相反的错动，其模态云图和模态曲线如图7所示。

图6 全船模型在112 Hz附近的一个模态Fig.6 Mode shapes around 112 Hz of the whole ship model

图7 全船模型在522 Hz附近的一个模态Fig.7 Mode shapes around 522 Hz of the whole ship model

3 结 语

本文分析了加环肋圆柱壳的运动，舱壁处的位移、内力和弯矩的连续性边界条件。对单舱段一端分别施加自由、周向径向简支约束、轴向约束以及三向约束等不同的边界条件，从模态的固有频率和频响曲线两方面与全船模型的I舱段进行比较，结果表明，在舱段频率以上，将舱段截断处理为周向径向简支约束比较合理。用单舱段来代替全船模型，可以反映全船模型中的主要舱段模态，但不能反映船体梁模态。

[1] YOSHIKAWA S,WILLIAMS E G,WASHBUM B.Vibration of two concentric submerged cylindrical shells coupled by the entrained fluid[J].J.Acoustics Soc.Am.,1994,95(6):3273-3286.

[2] 殷学文,丁旭杰,华宏星,等.具有浮筏的有限圆柱壳体的尺度对其振动和声辐射的影响[J].振动与冲击，2009,28(4).

[3] 李鹏,冯国庆.散货船全船三舱段与独立三舱段的比较分析.黑龙江省造船工程学会2008年学术年会论文集[C].2008:101-107.

[4] 沈顺根，吴文伟.潜艇结构噪声预报及控制技术[J].隐身技术，1998(2).

[5] 邢誉峰，李敏.工程振动基础(第二版)[M].北京：北京航空航天大学出版社，2011.

[6] 蔡青.鱼雷动力舱段壳体动力学分析及优化设计[D].昆明理工大学，2006.

[7] W.弗留盖.壳体中的应力[M].薛振东, 龙驭球, 叶耀先，等译.北京: 中国工业出版社,1965.