需要列方程求解吗？──三道几何竞赛题的另解

☉江苏省南京市金陵中学河西分校 李玉荣

需要列方程求解吗？──三道几何竞赛题的另解

☉江苏省南京市金陵中学河西分校 李玉荣

平面几何是研究平面图形性质的一门学科，据调查，很多人真正喜欢数学是从学习几何开始的，历史上一些著名的科学家，如阿基米德、牛顿、罗素、爱因斯坦，都曾被欧几里德几何迷住过，那一步步“怎样才能得到”引人入胜，一行行“∵，∴”令人陶醉，更具魅力的是命题者自己都难以知道是否还有更多、更好的解法.

马小为先生主编的《中学数学解题思想方法技巧（初中）》一书有这样三道题：

例1 如图1，已知四边形ABCD为直角梯形，且AB= BC=2AD，PA=1，PB=2，PC=3，求直角梯形ABCD的面积.

解析：设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r-m.

点评：注意到BA=BC且∠ABC=90°，利用旋转变换，将PA、PB、PC集中到一个三角形中，再由勾股定理的逆定理判断得出该三角形是一个直角三角形，进而解决了问题.

点评：利用内切圆的特点，得出DE=BD+CE，借用“相似三角形的周长比等于相似比”避免了复杂的代数变形，问题很简洁地得解.

数学大师波利亚在《怎样解题》一书中写到：即便是相当优秀的学生，在得到了题目的解答，并将整个论证简洁地写下来以后，就会合上书，去找别的事做.他们这样的做法，遗漏了解题中一个重要而且有益的阶段……尽管如此，错误总是有可能存在的，尤其是当论证冗长且复杂时更是这样，因此，需要进行验证，如果存在着一些快捷而直观的步骤可用于检验结果或论证时，尤其不应该忽视它.可见，要真正提升学生的数学解题能力，十分有效的是在日常解题教学中创造并抓住机会，反复告诫学生：你能以不同的方式推导这个结果吗？FH