巧设妙引，衔接无痕

☉四川省南充市嘉陵区教育科学研究室 蒲大勇

巧设妙引，衔接无痕

☉四川省南充市嘉陵区教育科学研究室 蒲大勇

从算式到方程是数学的进步，“算术”与“方程”的有效衔接教学在于：知识的衔接要找准“发生点”，思想的衔接要找准“融合点”，方法的衔接要找准“更新点”，能力的衔接要找准“提升点”.

一、课堂实录

以下是人教版新课标数学教材七年级《从算式到方程》引例教学片段.

多媒体出示问题.

问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地.A、B两地间的路程是多少？

师：请同学们用算术方法解决这个问题，办法越多越好.

学生有的在本子上画图，有的在讨论，有的在冥思苦想……，3分钟后，学生开始发言.

生1：我的式子为：70÷（70-60）×60.

师：你是如何想的？

生1：70表示客车比卡车多的路程，（70-60）表示客车每小时比卡车快的，70÷（70-60）表示卡车从A地到B地需要的时间，乘以60就是全程.

师：我听明白你的意思了：你以卡车列式，70表示客车与卡车的路程差，（70-60）表示两车的速度差，先算出卡车需要的时间.对吧？

生1表示赞同.

生2（迫不及待）：不准确，应该是（70×1）÷（70-60）× 60，因为客车比卡车早1 h，不乘以1，它的意义不对.

师：很好，你能说一说理由吗？

生2：因为乘以1表示卡车比客车迟1小时的路程，如果迟2小时就乘以2，迟3小时就乘以3，依此类推.

生1（不服气地）：1与数相乘时可以省略，我把1给省略了.当然乘上也可以.

师：还有不同的解法吗？

生3：以客车列式：（60×1）÷（70-60）×70.其中，（60×1）表示客车与卡车的路程差，（70-60）表示两车的速度差，（60×1）÷（70-60）表示客车从A地到B地需要的时间，乘以70就是全程.

师：太棒了！（掌声）还有与这几位同学解法不同的吗？

生5：以时间来算，但用的是比，因为客车速度是70 km/h，卡车速度是60 km/h，它们速度比就是7∶6，则时间比就应为6∶7，说明卡车用时比客车多一份，而客车比卡车早1 h，那么这1份时间就为1 h，所以卡车行完全程需要7 h，这样就容易求路程.

师：很好.同学们是否理解？

生表示理解.

师：还有与前几位同学不同的解法吗？（稍停片刻，环视教室没有学生发言）看来，算术方法就是这几种.在小学我们除了用算术方法，还有什么办法？

生（异口同声）：列方程！

师：那好，大家发挥聪明才智，用列方程来解这个问题，看谁的办法多.

生独立思考，3分钟后开始发言.

师：分析得透彻、精彩！（掌声）还有不同的吗？

生11：设卡车从A地到B地需要x h，则客车需要（x-1）h，方程为：70（x-1）=60x.［70（x-1）］为客车行驶的路程，（60x）为卡车行驶的路程，这两个路程都表示从A地到B地的距离，所以相等.先求出卡车从A地到B地的时间，再求出路程.

生12：我设的未知数与生11相同，只不过方程为：70x-60x=70.（60x）表示卡车从A地到B地行驶的路程，（70x）表示相同时间客车行驶的路程，（70x-60x）表示当卡车到B地时，客车多行驶的路程，即70 km.

生13：我也是这样设的，方程为：70x-70=60x.先算出客车在卡车行完从A地到B地时的路程，再减去多的70km，就得到卡车行驶的路程.

生14：设客车从A地到B地需要x h，则卡车需要（x+ 1）h，方程为：70x=60（x+1）.（70x）为客车行驶的路程，即A地到B地的距离，［60（x+1）］表示卡车在比客车多1 h后行驶的路程，也是A地到B地的距离.这里先求出客车从A地到B地的时间.

生15：我也是设客车从A地到B地需要x h，方程为：70x-60x=60.（70x-60x）表示客车行完全程时比卡车多的路程，恰好多60 km.

生16：我设的未知数与生14和生15一样，方程为：70x-60=60x.（70x-60）表示当客车行完全程时卡车还有60 km未行驶，相减就得到卡车此时行驶的路程.

师：大家都很聪明！用了这么多种方法来解.下面比较这两种解法.

师板书如下.

算术方法：（1）（70×1）÷（70-60）×60.

师：通过比较，你对算术方法和列方程解决问题有什么认识？

生17：我认为算术方法比方程好理解一些.

不少学生赞同这个观点.

师：说得有道理.大家为什么会有这种感觉呢？我想主要是由于同学们在小学阶段解决问题都习惯于用算术方法.事实上，算术方法是一种逆向思维，方程方法是正向思维.大家习惯了逆向思维，随着知识的增加，你会慢慢发现有的问题逆向思维解决很困难，有时根本不能解决，这时需要正向思维.还有吗？

生18：我发现算式里只含有已知数，而方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数.

师：这个认识很重要.这就是算式与方程最大的区别.正因为这样，你们看列算式办法多还是列方程方法多？

生19：方程比算术方法多.上面例子列算式就只有三四种，而列方程可以有10多种.

师：对呀，方程比算术更丰富、更富有内涵.所以，教材上给出了：从算式到方程是数学的进步.其实，列方程一般比列算术式更直接、更自然、更宽松，方程也为我们解决许多问题带来方便.这也是我们为什么要学习方程的缘由，希望大家拿出干劲，力争学习好本章内容，大家一起回答：好不好？

生（群情激昂）：好！

……

二、教后随想

这个引例教学围绕“从算式到方程是数学的进步”展开，它既蕴含了教材编写者的意图，也是本节内容教学的起点，通过对这个引例的教学，让学生初步充分理解“为什么学习方程”，这需做两件事，第一件事是既要让学生认识到小学阶段学习的“算术方法”的可行性，又要认识到“算术方法”的局限性；第二件事是要让学生初步领会学习“方程”的必要性和优越性.从“算式”、“方程”和“算式到方程”三个维度组织教学，在这个过程中实现“算术”与“方程”的有效衔接，具体表现在以下几点.

1.知识的衔接，找准“发生点”

数学知识的衔接是衔接教学的重点.在小学阶段，学生主要学习了用算术方法解决问题，同时也学习了列简易方程解决问题，学生对方程的概念并不陌生.这里知识的衔接应是对“从算式到方程是数学的进步”的体会、理解上，而“发生点”就是怎样从算式到方程，让学生根据利用算术方法分析问题的数量关系的经验，找出相关量，分析数量关系，从中找出合适的相等关系，并将其用数学符号语言正确表达，即建立问题的方程模型.上述教学，学生通过充分列算式和列方程，当算式只有三四个，方程可以达到10个以上时，学生产生了认知冲突——为什么会这样呢？在教师的引导下，学生慢慢明白了：算式与方程表现了算术与代数解决问题的两种不同方法，算术式表示一个计算过程，但其受到“其中只含已知数而不能有未知数”的限制；而方程可以用未知数与已知数一起表示相关的量和它们之间的某种相等关系，并且未知数可以与已知数一样参与运算，这打破了未知数只有先求出后才能使用的限制.

2.思想的衔接，找准“融合点”

数学思想的衔接是衔接教学的核心.算术方法主要有“数形结合”、“对应”、“合情推理”等数学思想.方程不仅包含上述数学思想，而且更重要的是蕴含了“符号化”、“模型化”思想.数学思想的衔接关键在找准“融合点”——算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系.算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物.在算术中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利.在代数中，列出的方程——用等号将相互等价的两件事情联立，等号的左右两边等价.这时的已知数和未知数是有机的统一体，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边.上述教学正是注重了算术与方程思想的融合，发展了学生的数学思想.

3.方法的衔接，找准“更新点”

数学方法的衔接是衔接教学的关键.从数学方法上看，算术式表示一个计算过程，是一种算法.方程不仅是一种数学思想，更是一种数学方法，还是一种数学模型，这也是代数方程与算术式的区别之一.从算式到方程的“更新点”在何处？从课程标准看，在小学阶段中已经有关于简单方程的内容，学生对方程已有初步的认识，会用方程表示简单情境中的数量关系，会解简单的方程，即对于方程的认识已经历了入门阶段，具备了一定的基础.而用方程的方法解决问题有两点特别重要，一个是抽象、概括，另一个是做事情的运筹和逻辑的条理.学生通过学习列方程，再通过算术式与方程的比较，会认识到方程是比算术式子更有力的数学工具，未知数可以列入方程.这样的突破使得列方程一般比列算术式更直接、更自然、更宽松，从而给解决问题带来更大的便利.这体现了从算术方法到代数方法的进步.

4.能力的衔接，找准“提升点”

数学能力的衔接是衔接教学的难点.从思维角度看，算术方法是一种逆向思维，方程是一种正向思维.由于学生在小学阶段解决问题习惯于用算术方法，能用算术方法解决问题是一种能力,而学生把逆向思维转换成正向思维，这需要一种更强的能力.这是因为七年级学生面临经验型形象思维向理论型抽象思维的转化，即从算术思维过渡到关系性思维，“由因导果的算术方法”到“执果索因、假设问题已解决、引进未知数的代数方法”的转变，并开始运用假设进行有预见性、形式化的思维.与此同时，列方程时分析实际问题中所包含的已知量与未知量之间的关系，找出可作为列方程依据的相等关系，并将语言叙述的数量关系用代数式表示出来，这些都是能力的“提升点”.上述教学中，教师让学生充分“暴露”建构方程模型的过程，通过分析、抽象、比较等数学活动，培养、提升学生的思维能力.

1.赵绪昌.思维对话——让课堂闪动灵性［J］.中学数学（下），2010（10）.

2.党宇飞，殷希群.初高中数学衔接讲座［J］.中学数学（下），2008（10）.

3.徐骏.也谈初中数学课堂教学中实施新旧知识衔接的做法［J］.中学数学杂志，2012（4）.

4.马兆年.浅谈中小学数学教学的衔接［J］.昭通师专学报，1996（3）.

5.王雪娇.中小学数学教科书内容衔接研究［D］.沈阳：沈阳师范大学，2013.