寓“过程教育”于“二元一次方程”教学探索及点评

☉浙江省象山县象山港书院 王 伟

☉浙江省象山县教育局教科研中心 邬云德

寓“过程教育”于“二元一次方程”教学探索及点评

☉浙江省象山县象山港书院 王 伟

☉浙江省象山县教育局教科研中心 邬云德

一、引言

“过程教育”是指旨在满足学生全面、和谐发展需要的关注数学结果形成与应用的过程和蕴含的数学思想方法与思维方法的教育.“二元一次方程”是浙教版义务教育课程标准教科书数学七年级下册第2章第1节的课题.尽管“二元一次方程”的有关内容教师比较熟悉，但从“过程教育”要求来看，大多数教师对“二元一次方程”的教学存在偏差.寓“过程教育”于“二元一次方程”的教学怎样操作？笔者采用研究性变革实践的方式进行了探索.初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的操作方法符合“过程教育”的精神实质并具有普遍适用性.本文简录其教学过程并进行点评，供读者参考、研究.

二、教学过程简录与点评

环节1：参与产生并感悟二元一次方程的活动——明确研究对象

首先，教师指出：我们知道，现实生活中许多数量相等关系的问题可以转化为一元一次方程的问题.一元一次方程够用了吗？请大家根据下列问题中的条件分别列出方程.

（1）小杰买了单价分别为2元和1.2元的贺卡若干张，花了10.8元，问：这两种贺卡各买了多少张？

若设单价2元的贺卡买了x张，单价1.2元的贺卡买了y张，则可列出方程：_________.

（2）小红到邮局寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有面额为6角和8角的邮票若干张，问：这两种面额的邮票各需多少张？

若设需要面额为6角的邮票x张，面额为8角的邮票y张，则可列出方程：_________.

（3）在高速公路上，一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程还多20千米，问：轿车和卡车的速度分别是多少？

若设轿车的速度为a千米/时，卡车的速度为b千米/时，则可列出方程：_________.

其次，教师组织学生交互反馈，并在反馈交流的基础上引导学生反思：①上述列出的方程与一元一次方程有何差异？②你对这类新形式的方程有何感触？

最后，教师进行总结性讲解：上述事例说明现实生活中也有许多数量相等关系的问题其数学化结果不是一元一次方程，而是上述形式的方程.既然这种形式的方程也是刻画现实世界数量相等关系的数学模型，就有研究这种新形式方程的特征及其解法的必要.这节课的研究对象就是这种新形式的方程.（揭示课题）

点评：导入性教学旨在建立新旧知识之间的内在联系和激发学生的学习兴趣.这里借助学生熟悉的生活实例和转化思想来产生二元一次方程，并通过比较二元一次方程与一元一次方程的差异及交流对二元一次方程的感触来感悟二元一次方程的现实存在性和研究二元一次方程的必要性.这体现了“过程教育”，能满足学生发展列方程技能和激发学习兴趣的需要.

环节2：参与定义二元一次方程的活动——形成二元一次方程的概念

首先，教师要求学生观察并归纳所列方程“2x+1.2y= 10.8，0.6x+0.8y=3.8，2a=3b+20”的共同特点并进行合作交流.（提示：可从未知数的个数、表示未知数的字母的次数、代数式的类型、整理后方程的形式等多个视角进行观察）

生1：它们都含有两个未知数.

师：对！你是从未知数的个数角度来归纳.

生2：它们含未知数的项的次数都是1次.

师：对！你是从未知数的次数角度来归纳.

生3：等号左右两边都是整式.

师：不错！你是从代数式的类型角度来归纳.

生4：它们都是等式.

师：是的！你是从等号左右两边数量关系角度来归纳.

生5：它们都不是算式.

师：好！你借用算式的概念来归纳.

生6：它们都可以写成：ax+by=c（a、b、c是已知数，且a≠0，b≠0）的形式.

师：好极了！你有较强的符号表示意识.

最后，教师引导学生反思：①获得二元一次方程的概念经历了哪几个步骤？其蕴含的数学思想有哪些？②你认为还要研究什么？教师在倾听学生观点的基础上进行总结性讲解.获得二元一次方程的概念的步骤是：从实际问题情境中抽象出若干特定的二元一次方程→观察并归纳特定二元一次方程的共同特征→用文字语言定义和用符号语言表示.其蕴含的数学思想有：转化思想、归纳思想、符号表示思想等.像研究一元一次方程一样，我们还应该研究其解法和在实际中的应用.

点评：概念教学不但要关注概念本身，也要关注概念的形成过程和蕴含的数学思想.这里把获得二元一次方程的概念的步骤和蕴含的数学思想列入了课程内容.教学中采用了价值引导下的先“放”后“收”的方法.这样学生经历了有价值的认知过程，特别是归纳二元一次方程的特点和概念形成后的反思，体现了“过程教育”.目前概念教学普遍存在概念形成过程短暂并且反思过程缺失的现象，导致不能落实“过程性”目标.

环节3：探索解有代表性的二元一次方程——生成解二元一次方程的方法

首先，教师出示问题：怎样解二元一次方程3x+2y=10？

其次，引导学生经历下列过程.

（1）方程3x+2y=10与一元一次方程有何区别与联系？

（2）若把方程3x+2y=10中的一个未知数看成是字母系数，则方程3x+2y=10是不是一元一次方程？

（3）若把方程3x+2y=10中的x看成字母系数，则怎样用含x的代数式来表示y？

（4）当x=-2、0、3时，对应的y值是什么？写出方程3x+ 2y=10的三个解.

再次，教师引导学生反思.

（1）二元一次方程3x+2y=10有多少个解？

（2）用含y的代数式来表示x，可以吗？

（3）解二元一次方程3x+2y=10经历了哪几个步骤？

（4）一般地，怎样解二元一次方程ax+by=c（a≠0，b≠0）？

（5）解二元一次方程3x+2y=10的基本思想是什么？

最后，教师在倾听学生观点的基础上总结解二元一次方程的基本思想与方法.（1）解二元一次方程的基本思想是化归（把一个未知数看成是字母系数，化二元一次方程为一元一次方程）.（2）解二元一次方程的方法是：①用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数；②给定一个未知数的值，求对应的另一个未知数的值；③写出所有二元一次方程的解.一般地，二元一次方程有无数个解.

点评：方法教学不但要关注解决具体问题的方法，也要关注解决具体问题的方法的抽象概括的过程以实现课程目标.这里通过解具体二元一次方程来认识解抽象二元一次方程的方法.教学中采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先“放”后“收”的方法.这样学生经历了解二元一次方程的实质性思维过程，特别是化归的过程和问题解决后的反思过程，体现了“过程教育”.目前方法教学也存在探索过程短暂并且反思过程缺失的现象，导致不能落实“过程性”目标，并且部分教师不明确教学内容与课程内容的区别（解二元一次方程的方法是课程内容，解具体二元一次方程是教学内容）.

环节4：参与尝试有关知识应用的活动——合作解答有代表性的问题

题1：根据题意列出方程.

①买5 kg苹果和3 kg梨共需23.6元，分别求苹果和梨的单价.若设苹果的单价为每千克x元，梨的单价为每千克y元，则可列出方程：_________.

②七年级一班男生人数的2倍比女生人数大7，求男生、女生的人数.若设男生人数为x，女生人数为y，则可列出方程：_________.

先要求学生独立学习，再组织学生交互反馈，然后教师追问：列方程的关键是什么？

题2：下列各式是二元一次方程的是（ ）.

先要求学生独立学习，再请个别学生回答，然后教师追问：判断的依据是什么？

题3：下列各组数不是方程2a=3b+20的解的是（ ）.

先要求学生独立学习，再组织学生交互反馈，然后教师追问：判断的依据是什么？

题4：已知二元一次方程2x+3y=2.

（1）用含y的代数式表示x.

（2）根据给出的y值，求出对应的x的值，填入表内.

y 0 2 -2 2 3 1 ……x

（3）写出方程的五个解.

先要求学生独立学习，再请个别学生回答，然后教师再次强调解二元一次方程的步骤.

题5：为了倡导“节能环保，低碳出行”，宁波市政府推行宁波市公共自行车便民服务，首期在海曙区投放了800辆公共自行车，在人口密集的公共场所网点平均投放25辆，在居民区网点平均投放20辆.

（1）若设公共场所网点有x个，居民区网点有y个，则可列出方程：_________.

（2）若用含x的代数式表示y，则y＝_________.x的取值范围是什么？

（3）求符合条件的所有x与对应的y值.

教师先引导学生经历解题过程，再总结用二元一次方程解决实际问题的方法.

点评：例题教学旨在巩固所学知识和发展智慧技能.这里选择五个有代表性的问题来引导学生再认列二元一次方程和二元一次方程的概念及其解法，并把解题的依据和用二元一次方程解决实际问题的思想方法列入了课程内容.教学中采用了有代表性问题引导下的先“放”后“收”的方法.这样有助于学生理解与练习和谐，特别是教师的追问与解题之后的总结，体现了“过程教育”.目前例题教学也普遍存在解题之前分析过程短暂和解题之后反思过程缺失的现象，导致不能满足学生感悟解题的策略、方法和技巧的需要.

环节5：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）什么叫二元一次方程？列二元一次方程的基本步骤是什么？

（2）解二元一次方程的基本思想是什么？解二元一次方程的基本步骤是什么？

（3）用二元一次方程解决实际问题的关键是什么？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师边倾听、边评价.

第三，教师总结本节课的研究方法.（1）获得二元一次方程概念的步骤：①在生活情境中产生若干具体的二元一次方程；②观察并归纳具体二元一次方程的共同特点；③用文字语言定义和用符号语言表示二元一次方程.（2）解二元一次方程的研究方法：①用化归思想合作研讨具体二元一次方程的解法；②反思解具体二元一次方程的过程，抽象概括出解二元一次方程的方法；③运用“生成的方法”尝试解有代表性的二元一次方程.

点评：课堂总结旨在再认研究内容和研究方法及进一步感受研究的意义.这里采用“问题清单”引导下的交流合作基础上的教师总结的方式——既有知识回顾的作用，也有深化认识的作用；既能增强学生的反思意识，也能发展学生的语言表达能力.这种价值引导下的先“放”后“收”的课堂总结方法，如果组织得好，能起到跨越式的作用.

三、总评

之所以这节课体现了“过程教育”，是因为这节课的课程内容、教学结构和教学操作符合“过程教育”的精神实质.

1.课程内容符合“过程教育”要求

“过程教育”蕴含着：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成与应用的过程和蕴含的数学思想”.按这个观点确定课程内容是落实“过程教育”的前提.“二元一次方程”的课程内容体现了这个观点，其主要内容有：从“生活现实”中抽象出二元一次方程的过程和蕴含的列方程步骤与转化思想；二元一次方程的概念（包括名称、定义、属性、示例）、二元一次方程的一般形式、二元一次方程解的概念，及获得二元一次方程的概念的步骤（在“生活现实”中产生二元一次方程→观察并归纳二元一次方程的特点→用文字语言定义和用符号语言表示）和蕴含的转化思想、归纳思想、数学表示思想等；解二元一次方程的方法和蕴含的化归思想与数学活动经验.

2.教学结构体现了“过程教育”思想

“过程教育”暗示着：教学结构应当是逻辑连贯的，并且要符合数学的发展规律、学生学习数学的认知规律和教育的规律.按这个观点构建教学结构是落实“过程教育”的关键.“二元一次方程”的教学结构体现了这个观点，其教学结构可用如下框图表示.

二元一次方程的现实存在性①产生若干特定的二元一次方程二元一次方程的本质特征研究二元一次方程的必要性②定义与表示二元一次方程获得概念的步骤和蕴含的思想解二元一次方程的基本思想③探索解二元一次方程解二元一次方程的基本步骤解题的策略、方法和技巧④合作解答有代表性的问题解决实际问题的关键反思与回顾研究的内容⑤合作进行反思与总结反思与回顾研究的方法

这个“自然、简单、动态、和谐”的数学教育过程，能满足学生经历完整数学思考过程的需要，对促进学生认知与情感的变化与发展有积极的影响.

3.教学操作满足“过程教育”需要

“过程教育”意味着：教学载体要有助于实现教学目标、要符合“最近发展区理论”要求、要符合学生的认知规律、载体的情境能满足学生丰富生活常识的需要及背景材料具有教育意义.教学方法不仅包括准确、清晰、富有启发性的讲解，也包括有助于学生经历实质性思维过程的价值引导.按这个观点选择教学内容和教学方法是落实“过程教育”的基本保障.“二元一次方程”的教学操作体现了这个观点.例如，二元一次方程概念的教学：先借助学生熟悉的生活实例和转化思想来产生方程；再在观察并归纳所列方程的共同特征的基础上对这类方程下定义；然后引导学生对数学活动过程进行反思以揭示获得二元一次方程的概念的步骤和蕴含的数学思想.

总之，过程教育需要“结果”与“过程”和谐、“主体”与“主导”并重、“自主”与“合作”协调、“探究”与“接受”同在.而这节课的教学操作方法较好地体现了这些辩证关系，能满足学生全面、和谐发展的需要.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.范良火.义务教育课程标准教科书·数学·七年级·下册［M］.杭州：浙江教育出版社，2013.