加强知识理解 渗透数学思想——以人教A版必修“1函数的概念及其性质”为例

☉江苏省南通市天星湖中学 王 东

加强知识理解 渗透数学思想
——以人教A版必修“1函数的概念及其性质”为例

☉江苏省南通市天星湖中学 王 东

一、重视以知识理解带动数学思想教学的原因

数学思想是引领数学活动的基本动力，是数学的精髓.长期以来，我国数学教学，特别是高中数学教学十分重视数学思想的教学，把培养学生运用数学基本思想分析和解决问题的能力作为重要的教学目标之一，并取得了很大的成绩.落实在日常教学活动中，常常可以概括为“一做二讲三悟”.这就是：第一步，教师提供形式多样的数学练习题，由学生自己先做这些练习题；第二步，教师进行精心的讲解，对于其中的数学思想方法加以提炼和总结；第三步，学生自身的领悟，特别是，需要学生自己去弄清楚数学思想是怎样在问题解决中发挥思维的引领作用的.其中，“悟”的重要性受到了特别的强调，认为“做”和“讲”是“悟”的基础，是为实现“悟”的效果服务的.

从知识分类的角度来看，数学思想属于策略性知识.策略性知识的学习和掌握是一个以问题解决为载体的“行动+反思”的过程，学习者在不断变换的问题情境中依托实践的领悟十分重要.数学思想的教学，“一做二讲三悟”有其合理性.

然而，在数学思想的“教”和“学”上，我们常常看到，尽管师生双方付出了很大的努力，效果和效率却不尽如人意.对于为数不少的学生，他们一般不难看懂一个数学问题的逻辑解法，却无法真正领会其中的数学思想，不明白它们是怎么想出来和怎么运用的，觉得数学很神秘，数学思想难以把握.

上述现象的存在，除数学思想本身的抽象性特征外，笔者以为，存在于“教”的方面先天不足是一个重要原因.这就是过分强调了课堂内外的解题训练和学生自身的领悟在理解和掌握数学思想中的作用，而对于数学思想的教学起点问题缺乏应有的重视和理性的认识.

事实上，对于学习者来说，数学思想的学习是一个漫长的过程，需要经历“初步感知”、“逐渐领会”和“灵活运用”这样三个阶段.其中，“初步感知”是把握数学思想的心理基础，也是我们开展数学思想教学的始发地.这一阶段的教学具有不可缺失、不可替代和不可重复的特点，其重要意义不言而喻.那么，如何让这一阶段的教学成为自然的和深刻的呢？笔者以为，数学思想并非“天外之物”，知识是思维的载体，也是思想的载体.学生对数学思想的初步感知只能来自于数学新知识学习的阶段.具体地说，要强化数学思想这一隐性知识与数学知识（包括数学概念、性质、公式和法则等）这一显性知识的内在联系的教学，为学生架设一条由知识通向思想的桥梁，走一条以数学知识的本质认识带动数学思想理解的路子：首先，要引领学生深度剖析数学知识反映的空间形式和数量关系的内涵，使之成为理解数学思想的源头活水；接着，借助于素朴典型的实例，从反思数学知识的应用过程入手，引导学生对数学知识的理解从字面意义的表层渐进到思维价值的深处，抽象概括出数学思考的一般化方法即数学思想，实现数学知识和数学思想的有机融合.

二、例说以知识理解带动数学思想的教学

首先，带动数学思想的教学要在学生对数学知识的字面意义有了充分把握的基础上进行.数学思想是数学知识在高层次上的抽象和概括，学生对数学思想的理解过程是一个对数学知识深度解读的过程，离开了知识的字面意义这一基础，数学思想便成了“水中月，镜中花”.教学中，要在学生对数学知识有了准确的字面理解，但还缺乏从思维价值的高度作出进一步分析的意识的时候，从学生的生活经验和认知基础出发，因势利导，实现陈述性的数学知识向策略性的数学思考方式的提升和转化.

其次，以知识理解带动数学思想的教学应该在一个相对完整的时间段内进行，以避免教学的表面化.这是因为，从数学知识中析取数学思想是一个分析、抽象和思维概括的过程，不仅需要教师的启发性讲授，更离不开学生智力的全身心参与.学生的思维要在具体和一般、形象和抽象之间往返穿梭，并经历批判性反思.

下面试以人教A版教材必修1“函数的概念及其性质”为例，谈谈如何以知识理解带动数学思想的教学.

具体地说，这是一个“说内涵—设情境—引思想”的过程.“说内涵”就是围绕“知识是什么”这一话题，分析知识的结构及其内在联系，在此基础上，提出“知识有什么用”的问题，引发学生思维价值方面的思索；“设情境”就是设置数学内外问题，师生合作思考和解决.这里的问题设置着眼于凸显知识的思维价值，直接为数学思想的教学服务，因而其情境应该是简明的，既不宜涉及太多的数学概念、公式和法则，也应该与教材中的相关素材紧密联系；“引思想”就是和学生一道回顾解决问题的思维历程，提炼出超越数学知识、能有效地指导数学思考的一般方法，也就是数学思想.

1.从“函数概念”到“函数思想”

第一步，说内涵.

师：函数是描述两个变量的依赖关系的数学概念，这种依赖关系的数学表示就是对应关系f.那么，对应关系f能帮助我们做什么事呢？函数的定义和上节课的学习经验都告诉我们，确定了对应关系f的涵义，那么对于定义域内的任意一个自变量的值，我们都能确定因变量的值.由此，同学们在上节课中写出了一次函数、二次函数和反比例函数等我们熟悉的函数的值域.不难想象，确定了对应关系f和定义域，我们便可研究因变量的变化规律，获得因变量的诸多性质.

第二步，设情境.

（教材第39页习题B组第2题），动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m，那么每间熊猫居室的最大面积是多少？（有意省去了原题题设中的“设宽x（单位：m）”.师生共同解答略，下同）

第三步，引思想.

简评：要使函数思想的教学来得亲切和自然，就必须从学生熟悉的生活情境出发，从学生对函数概念的认知基础出发，围绕函数概念的要素，在启发学生对概念意义的再理解上下工夫.以函数概念的理解带动函数思想的教学，将促成学生对函数关系由不自觉建立向自觉建立的转化，必在数学方法论方面对学生产生深远的影响.

2.从“分段函数”到“分类讨论思想”

第一步，说内涵.

第二步，设情境.

第三步，引思想.

师：从上题的分析和解答中我们看到，根据分段函数f（x）的涵义，在表示f（a+1）时需要区分a+1≥0和a+1<0这两种情形，因而第（2）小题需要分别解这两种情形下的一个一元二次方程，最后再把结果综合起来，从而得到了原问题的解答.由此想开去，如果事先了解到一个事物在不同的阶段呈现不同的性质或特点，而我们处理这个事物又需要涉及所有的阶段，那么就需要对各个阶段的情形分别考察才能得到完整和准确的结论，这种处理问题的策略就是数学中的“分类讨论思想”.

简评：分段函数是对立统一观点在数学中的具体体现，是理解分类讨论思想的良好载体.透过分段函数的学习和应用，一要引导学生认识事物的复杂性，二要从学生的认知经验和生活经验出发帮助学生领会分类讨论思想的实质，这就是“各个击破，分而治之”.

3.从“函数的单调性”到“数形结合思想”

第一步，说内涵.

师：函数研究的内容是描述自变量变化引起的函数值变化的特点和规律.前面的学习告诉我们，从“随着自变量的增大，对应的函数值是否增大（减小）”这一角度反映的函数性质就是函数的单调性.函数单调性的形式化定义是抽象的，但它反映的图象特征却是直观的：在某区间上是增函数对应于相应部分图象（从左到右看）是上升的，在某区间上是减函数对应于相应部分图象（从左到右看）是下降的.可见，了解了图象的升降性也就等于把握了函数的单调性，为此我们需要经常作出函数的图象.进一步想开去，作出函数的图象还可以帮助我们获得函数许多其他方面的信息.

第二步，设情境.

第三步，引思想.

师：上面的解答包括两个步骤：作出函数f（x）的图象，将“满足f（x）=a的x的值有3个”这一要求转化为“图象上纵坐标等于a的点一共有3个”.其中，第一步“作出函数f（x）的图象”是第二步实施转化的基础.总的来说，就是先将题目中抽象的符号表示转化为直观的图形表示，将数量关系方面的要求转化为点或线或图形的位置关系方面的要求，然后通过观察图形的特征，获得需要的数量关系.这样一个将“数”转化成“形”，再从“形”回归到“数”的过程，可以有效地化解数学的抽象性，是数学中一种基本的思考方法，称为“数形结合思想”.

简评：作为一种重要的数学思想，数形结合反映了数学的基本特点，是数学对象的本来面目在数学方法论中的体现.这有助于提高学生运用数形结合思想看待和分析数学问题的自觉性，实现抽象思维和形象思维的协调发展，并形成对数学的更加完整和深刻的认识.

4.从“函数的奇偶性”到“化归思想”

（分析过程与前面类似，略.）

三、结束语

以知识理解的教学带动数学思想的教学，让学生看到了数学知识背后生动活泼的数学思维，它不仅推进了学生对数学知识更加深刻的认识，同时开启了学生运用数学思想思考的大门.

数学知识具有思维的特点.透过本质性的理解，看到数学知识形式化的符号表达背后丰富多彩的数学思想应该成为数学教师的专业本能.数学教学要成为“自然的”和“清楚的”，就必须在课堂上积极探寻数学知识背后的思维力量，让数学思想教学和数学知识教学水乳交融，相伴同行，实现数学知识教学价值的最大化，这是数学教师创造性工作的重要组成部分.

∶

1.郑毓信.数学方法论［M］.南宁：广西教育出版社，1999.

2.人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2010.

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