题平常 意无限——一道不等式试题的简捷通法、规律探寻

☉浙江省衢州第二中学 傅建红

题平常 意无限
——一道不等式试题的简捷通法、规律探寻

☉浙江省衢州第二中学 傅建红

题目1：已知不等式3x+4≤a（x+y）对一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为______.

题目2：已知不等式x+≤a（x+2y）对一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为______.

一、常规解法

点评：上述两种方法是解决二元最值问题的常规手段，其基本策略是“二元归一”：即首先将二元函数转化为一元函数（利用变形和换元），然后用函数法或导数法求其最值.单从方法角度而言，上述解法无可厚非.然而对一个填空题来说，似“笨重”有余，“轻灵”不足，有小题大做之嫌.

二、本题另解

三、另解剖析

四、本题变式

五、规律探寻

不难发现，题目1及其变式中的基本函数可概括为如下四种形式：

由此可见，函数f（x，y）是可能没有最值的（不是待定系数法不行，而是函数本身不存在最值），而题目及上述变式仅是满足了条件“Δ≥0且求出的m，n为正”时的特例而已.

六、教学启示

以上通过对题目1的层层剖析、抽丝剥茧，逐渐掀起了试题的“盖头”，破译了其中蕴含的“神秘玄机”——原来此题借不等式恒成立问题为背景，考查基本不等式在函数（二元齐次分式）最值问题中的应用.但题目立意之深，背景之妙，让人感觉不露痕迹，不易识破.为什么看似平常却又无可奈何？为什么不能在第一时间想到基本不等式？究其原因是我们未能识破问题背后蕴含的玄机——函数的结构特征及基本不等式的运用环境，尤其是对基本不等式放缩时的配凑技巧把握不够.那么，针对这一现象，作为主导者的教师，应如何应对？美国心理学家布鲁纳认为：“探索是数学的生命线”；《普通高中数学新课程标准》（实验）也曾指出：“要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋中”.这意味着教师要把实质性的数学问题“教学法化”——让数学的实质能够被学生触及并逐步理解.因此，笔者以为，教师在平时的教学过程中（尤其是在高三的复习阶段），要引领学生借练习、试卷中出现的类似于题目1这样具有探究价值的试题为载体，进行“借题发挥”多方演绎，充分挖掘问题本质.具体地说就是与学生一起对试题进行深入地剖析、引申、类比，让学生“亲历”知识发生、发展的全部过程（而不是直接将结果告诉他们——使“火热的思考”变成“冰冷的美丽”）.在此过程中，教师要舍得花时间，切忌浅尝辄止、就题论题.本案中，若以此模式组织教学，以问题驱动课堂，则不仅可让学生看清问题的本质，洞察题型的变化，而且还可给学生营造一片自由探索的天空——使学生的思维能围绕这一问题纵横驰骋，更可贵的是学生可以借助变式进行自我命题，并将这种自我探究的模式和意识移植到其他问题中.这种教学模式看似浪费时间，实则触及了思维的灵魂，因此，它必将从根本上改进学生的学习方式，培养学生的创新意识，发展学生的个性品质，唤醒其潜在的学习热情与欲望，同时也将为我们的教学打造出睿智、丰盈而高效的课堂.因为，就教学的艺术性而言，“授渔”永远高于“授鱼”.

总之，此题看似平凡，意蕴不凡，可谓题平常而意无限.

1.傅建红.借试题“发挥” 以问题“驱动”——高三数学试卷讲评有效教学的尝试与探索［J］.中学数学研究，2012（10）.