例、习题的结论能否作为证明的依据——使用沪科版数学教材的几点困惑与思考

☉安徽省当涂县大陇初级中学 倪兴隆 王小虎

例、习题的结论能否作为证明的依据
——使用沪科版数学教材的几点困惑与思考

☉安徽省当涂县大陇初级中学 倪兴隆 王小虎

何谓证明？沪科版数学教材八年级上册第78页就明确规定：“从已知条件出发，依据定义、公理、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理（或演绎法），演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.”其中，定理是“从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并被选作判断命题真假的依据.”通常证明有三大步骤，即：（1）根据题意，画出图形；（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明推理的依据.但是在使用沪科版教材（或配套教学用书）教学时，竟然发现多处运用例题或习题的结论作为证明依据的案例，给教师的教和学生的学带来了许多困惑，现将课本原文部分摘录，以飨读者，供大家探讨.

【案例1】沪科版教材八年级下册第79页例5

例题：求证：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.

课本中的证明过程略.

连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.

关于三角形的中位线，有如下的定理.

定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

已知：如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点.

同理，过点D作DF∥AC交BC于点F，则点F为BC的中点.

则四边形DFCE为平行四边形.

困惑：（1）定理中说“连线平行于第三边”没有问题，但能否说“连线”等于第三边的一半？“连线”与“连线段”有区别吗？

（2）教科书中用例5的结论作为三角形中位线定理证明的依据，这与教科书之前给出的证明的含义相悖，这种做法有无违背证明的逻辑规则？

思考：（1）关于“连线”与“连线段”.

连线应该是连接两点的直线，连线段应该是连接两点的一条线段.直线没有长短，因此不能说连线等于第三边的一半.而线段与直线平行不矛盾，所以本人认为定理的说法有问题，应该改为：“三角形两边中点的连线段平行于第三边，并且等于第三边的一半.”

（2）关于困惑（2）.

课本中例5实际上是平行线等分线段定理的一个推论.但沪科版教材八年级下册第107页A组复习题第13题，仅仅以习题的形式彰显了平行线等分线段定理，真正以定理的形式呈现，还是在九年级上册第61页.

人教版教材在编排上就非常科学合理，首先编排了平行线等分线段定理和推理，继而才有三角形中位线定理和梯形中位线定理.因此，在证明三角形中位线定理时，就不会出现上述用例题结论作证明依据的尴尬局面.

平行线等分线段定理的证明，只需要具备三角形全等的知识就足够了，所以沪科版教材要么根据学生的认知结构，像人教版那样调整一下编排顺序，要么采用图2的辅助线，利用全等三角形和平行四边形的知识来证明，这样就可避免这种令人困惑的事情发生.

【案例2】1.沪科版教材八年级下册第100页习题20.5第5题

ADC）.

（2）求证：梯形的面积等于中位线与高的积.

证明过程略.

2.沪科版教材八年级下册第110页C组复习题第10题

习题：（1）如图4，从◇ABCD的顶点A、B、C、D向形外的任意直线MN作垂线AA′、BB′、CC′、DD′，垂足分别是A′、B′、C′、D′，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）如图5，将直线MN向上平移，使得点A在直线一侧，B、C、D三点在直线的另一侧，这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足分别为点A′、B′、C′、D′，那么垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？

（3）如图6，再将直线MN向上平行移动，使两侧各有两个顶点，从A、B、C、D向直线MN作垂线段AA′、BB′、CC′、DD′，它们之间又有什么关系？根据图5、图6写出你的猜想，并加以证明.（图5和图6省略）

沪科版配套教学用书中的参考答案：（1）证明过程略；（2）CC′-AA′=BB′+DD′；（3）CC′-AA′=DD′-BB′.利用全等三角形或梯形中位线性质证明.

困惑：（1）上述第5题的第一问就是梯形中位线的性质定理，其他版本教材中都是以定理的形式呈现给学生的，为什么沪科版却以习题的形式给出？在解决梯形的相关计算和证明时，能否用该习题的结论作为解题的依据呢？

（2）第5题的第二问实际上是梯形中位线定理的推论，问：在以后计算梯形面积时能否直接套用该公式？

（3）C组复习题中的第10题，虽然用三角形全等的知识能解决，但在证第二问和第三问时非常麻烦，如果采用梯形中位线的性质来证明，就简单扼要多了.而梯形中位线的性质，课本中没有作为定理向学生传授，学生能用、会用或敢用吗？

思考：（1）上百度网搜索初中常用的数学定理，明确记有平行线等分线段定理、三角形中位线定理和梯形中位线定理以及它们的推论.那么，沪科版教材为什么不能将梯形中位线性质及推论以定理的形式呈现给学生呢？

（2）根据学生现有的认知结构，完全可以将这些定理及推论编排在平行四边形和梯形的学习内容中.这样既可以为学生的解题提供简洁、快捷的方法，也可以开发学生的思维，拓展学生的知识面.

（3）沪科版教材其课程内容没有呈现部分定理和推论，估计是受到课程标准的影响.笔者仔细阅读课程标准，发现课程内容中只是安排了“探索并证明三角形的中位线定理”，而没有设计与梯形相关的知识内容.但是，课程标准又明确规定，教材编写应体现科学性和整体性，教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联.一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有利于学生感悟这种顺序.

（4）沪科版教材既然已经将梯形作为一个单元编排在课本内容当中，并将梯形中位线定理设计于习题之中，就不妨按照“平行线等分线段定理及推论——三角形中位线定理——梯形中位线定理及推论——例、习题”的逻辑顺序来设计教材内容，这样就不会出现运用例、习题的结论来作为证明依据而有违逻辑规则的事情了.

数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源.虽然教材编排提倡凸显特色，积极探索教材的多样化，但是，必须在不违背数学知识逻辑关系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理安排学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色.同时，数学教材又是教师进行教学的重要资源，是专家们精挑细选出来供学生学习的材料……因此，作为教师，在理解教材时，要根据教材内容和学生的实际情况进行创造性地灵活运用；要读懂知识的内在联系，找出一条主线统领相关内容体系，创造性地引出、发现并证明结论.

以上观点不知是否正确，敬请各位专家同仁批评斧正！

1.陈金红.“理解教材”的灵动思考与教学创新［J］.中学数学（下），2013（8）.

2.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

3.义务教育课程标准实验教科书·数学·八年级·下册［M］.上海：上海科学技术出版社，2009.