暴—露—从过一道程高三，范调研式试题引谈起领

☉江苏省苏州高新区教研室 陈 勇

☉江苏省苏州实验中学 丁益民

暴—露—从过一道程高三，范调研式试题引谈起领

☉江苏省苏州高新区教研室 陈 勇

☉江苏省苏州实验中学 丁益民

前不久，2014届苏州高三数学期初调研测试有如下一道题：

（1）略；

（2）如图1，若k=2，试证明：AE，EF，FB成等比数列.

阅卷过程中，我们发现该题的得分较低，全区均分仅5.9分（满分16分），成为卡住大部分学生的难题.一直以来，解析几何的解题教学成为高三数学复习中难以突破的问题之一，师生付出了大量的时间与精力，但成效甚微.解析几何解题教学究竟要讲什么？怎么讲？为此，笔者经过调研和思考，认为解析几何解题教学要做到以下两点：

一、暴露分析示范过程，提高问题分析的现场执行力

众所周知，解析几何试题的难点在于其繁杂的运算，而学生在解析几何试题上普遍畏难的表现多为怕算、算不到底、不会算等，这与教师侧重于方法传授，而忽视对算理算法的分析、示范与指导不无关系，特别是在教学中对条件的表征，信息的加工，运算的优化以及方法的生成与调整很少体现，导致学生仅仅形成固定模式化的思维认知.我们认为，只有深度地参与到与学生共同思维活动的现场中去，并真实地剖析思维操作过程中的各个细节，对已有操作对象进行合理的调控与展示，提高分析问题的现场执行力，才能让学生深刻并真正地体会到思维的合理性与操作的认同感.

如本题普遍是采取如下解法1：

S1：设出点P坐标；——（节点①）

S2：分别得到PC、PD的方程，进而得点E、F坐标；——（节点②）

S3：计算（表示）AE、EF、BF；——（节点③）

S4：验证三者关系

若按照上述流程按部就班讲下去，学生可能听懂了，但让学生自己独立去做却又出现问题，原因就在于教师没有对上述操作过程中的若干细节进行现场分析与调整，并对方法进行改善与改进.实际上，对上述过程我们可以引导学生分别对节点①、②、③进行分析：

节点①的分析：设点P的方式有哪些？怎么设比较好？

节点②的分析：计算PC方程时是否可以通过类比迅速获得？进而迅速获得F点坐标？（②中两个操作具体同构的特征，可以从操作的一致性上进行辨析.）

节点③的分析：计算AE的过程与BF的过程是否可以通过再次类比获得？

通过上述的现场分析，充分暴露了师生在处理问题过程中若干思维细节，并对这些细节进行合适的再处理，学生在操作过程中发生了“操作的需求——操作的认可”的心理活动，并激发了学生进一步的思考——是否可以进一步优化？一旦有了这样的意识，下面的操作便应运而生：

反思：上述操作中引起运算繁杂的主要原因在哪？

通过回顾上述操作流程，不难发现引起运算繁琐的原因是在求E，F坐标的运算上，这一运算连锁反应导致了很多运算的出现，可否回避这一运算发生吗？进而形成解法2：

S1：设出P，E，F三点坐标；

S2：分别由P、E、D三点共线和P、F、C三点共线，通过斜率或向量得到点F与P、C的坐标关系和点E与P、D的坐标关系；

S3：计算（表示）AE、EF、BF；

S4：验证三者关系.

引导学生预估这一算法的运算长度，并对上述两种解法进行比较：解法2是否比解法1得到改善与改进？进步在哪里？是否还可以进一步优化等.如此对已有的操作设计进行必要的剖析与比较，能使学生产生进一步优化思维对象的意识，并对每一次优化的过程进行比较与调控，真正让思维走向细节达到提升.

二、用范式引领思维的发生，促进数学探索意识的形成

正如前文所述，当前解析几何解题教学的症结在于对思维对象的形式固化，即思维的认知呈现出封闭的或狭窄的倾向，问题出在课堂教学中教学视野的狭窄与封闭，只有课堂中将思维的训练向四面八方打开，才有可能引发学生的思维热情，才有可能培养学生进行数学探究的意识与能力.当然，打开思维必须有一定规范的思维范式作指引，学生通过思维范式的引领加以一定量的理解与实施，逐步地会形成数学探索的意识.

如解答完本题中，我们可以让学生从两个基本方向展开探究：

方向1：是否可以逆向看问题？

——若AE，EF，FB成等比数列，则k=2吗？

实质上，该问题是将原问题表达中常量置换为变量，通过条件解方程即可获解，具体如下：

过点P作AD、BC的垂线，垂足为G、H，由三角形相似知识（三组相似）分别表示出AE、EF、BF，仅仅是将其中的AD长度用kb代换，然后通过已有信息EF2=AE·BF运算即可.

逆向探究是进行数学探究常用的范式，是寻求数学命题具有逻辑依据的“逆向”表征，通过原问题与逆向问题的双向研究，真正找到理解问题本质的通道.

方向2：是否可以进一步看问题？

——矩形ABCD，AB=2a，AD=2b，E、F是边AB上两点，且AE，EF，FB成等比数列，直线DE、CF交于点P，点P的轨迹是什么？

很明显地这一问题就是结合方向1进一步拓展地看问题，其操作的思路与上述一致：

设出P点坐标，运用相似知识分别表示出AE、EF、BF，根据已有信息EF2=AE·BF，将得到含有点P坐标的式子进行操作（相乘并化简）便可获得点P的轨迹方程.

拓展探究是进行解析几何解题教学时一种重要的“范式”，通常是对原问题中已有信息进行合理或合适的重组、整合、变换等操作，使得在已有操作中进行问题本质探求的新的操作活动.不难看出，经过“拓展探究”可使学生对问题的理解和认识更开阔更灵活，更为重要的是教给了学生如何进行思维或对思维对象进行新的表征的途径，真正地打开了学生思维向四处伸展的枷锁，激发了学生探求的方向与动力.

1.丁益民.从一道高考填空题谈思维［J］.中学数学（上），2010（6）.

2.丁益民.从一道高三模拟题谈解析几何解题教学［J］.中学数学教学参考（上），2013（7）.