基于ABAQUS的两种库水附加质量模型下重力坝动力分析

徐金英，李德玉，郭胜山

（中国水利水电科学研究院工程抗震研究中心，北京100048）

基于ABAQUS的两种库水附加质量模型下重力坝动力分析

徐金英，李德玉，郭胜山

（中国水利水电科学研究院工程抗震研究中心，北京100048）

库水附加质量反映了坝体与库水间的相互作用。本文以Koyna重力坝为例，基于ABAQUS并辅以部分MATLAB程序计算了两种不可压缩性库水附加质量模型下坝体的自振特性。分析Koyna各计算条件下的自振频率，结果表明：与库水有限元模型相比，W estergaard模型夸大了坝体与库水间的相互作用，应当进行折减，折减系数取0.8较为适宜。考虑折减的Westergaard模型下坝体地震响应计算结果与实际震害更符合，从而验证了折减系数的准确性。

ABAQUS；重力坝；动力分析；库水有限元；Westergaard；折减系数

1 研究背景

重力坝作为挡水建筑物，地震时水库将产生动水压力，讨论动水压力的问题实际是一个库水耦合问题［1］，因此，水体与坝体间的动力相互作用是其地震动力响应分析中的一个主要特点［2］。1933年，美国学者Westergaard通过研究刚性直立坝面动水压力，提出了不考虑库水可压缩性［3］的附加质量模型。许多研究者针对Westergaard研究中的假设条件开展了多方面的研究，但都假定坝面是刚性的。毫无疑问，这一假定与大坝是可变形弹性体的实际情况相差较大。随着有限元技术的发展，人们开始对坝体-库水间的动力相互作用展开研究。陈厚群等［4］通过白山拱坝模型实测以及三向电模拟试验求得振型动水压力，发现有限单元数学模型给出的结果与试验结果很符合，而Westergaard模型给出的结果偏大，建议对其进行折半修正。李德玉等［5］认为库水有限元模型能更好模拟库水对坝体动力特性和地震动力反应的影响，而Westergaard模型夸大了库水的动力影响，建议在适当折减的基础上采用，初步建议取0.7。虽然，库水有限元模型更符合实际的坝体-库水相互作用机理，但基于概念简单、易于采用以及偏于安全等诸多因素的考虑，我国现行的抗震规范［6］在计算重力坝附加质量时仍推荐采用Westergaard模型。所以，对简单的Westergaard模型进行折减，求解合理的拆减系数是一件非常重要的工作。由于陈厚群、李德玉计算的折减系数均采用振动台试验数据得到的，本文作者尝试采用数值编程来实现，并与李德玉结果进行比较，验证计算程序的准确性。

本文利用ABAQUS软件和MATLAB程序，通过计算两种附加质量模型下坝体的自振特性，得到Westergaard模型相比于库水有限元模型下的折减系数，并利用ABAQUS软件分析考虑Westergaard模型折减后的重力坝动力响应。

2 两种附加质量模型的基本原理

2.1 W estergaard模型假定坝面是直立刚性的，库水上游方向无穷远，库底为刚性水平面，库水作无旋小变形运动并忽略表面波影响，则动水压力表达式为：

式中：Pi为上游坝面的动水压力，以压为正；αi为节点i的附加质量；ρ为水体密度；Hi为包含节点i的铅直截面上的水深；Zi为包含节点i的铅直截面上从坝基算起到节点i的高度；ÿni为在节点i的坝面法向加速度。

2.2 库水有限元模型假设库水为不可压缩性流体，以动水压力p表示的库水运动方程为：

式中：Δ2为拉普拉斯（Laplace）算子。

由于本文只考虑水平向的附加质量，所以坝体-库水系统数值模拟的边界条件如下：

不考虑库水可压缩性，经有限元离散的库水运动方程为

式中：[H]为库水的刚度矩阵；{B}为坝面运动引起的“荷载”向量。

采用高斯法作静力凝聚，使库水运动方程只有坝体迎水面上的节点，即：

式中：[HS]=[HSS]-[HSW][HWW]-1[HWS]，其中，[HSS]为坝体自身节点间的刚度矩阵，[HWW]为水体自身节点间的刚度矩阵，[HSW]、[HWS]分别为坝体与水体节点的刚度矩阵。

令：

式中：[T]为由坝面动水压力到坝面节点力的转换矩阵；ẌG（t）、ẌS（t）分别为地面加速度和坝面节点上的相对加速度。

由此得到库水有限元附加质量表达式

3 MATLAB编程计算重力坝的自振特性

由于库水有限元模型计算出来的坝面附加质量矩阵是满阵，不能直接应用到ABAQUS中去，所以自行编写了MATLAB程序来计算坝体的自振特性，从而实现两种模型下坝体自振特性的比较。

3.1 M ATLAB计算库水有限元模型下的附加质量用MATLAB编程计算库水有限元模型下的附加质量矩阵时取3倍坝高的水库域进行有限元离散［7］，过程如下：（1）形成库水单元刚度阵，从而形成整体刚度阵，并通过静力凝聚得到仅与坝-库接触面上节点有关的等效刚度矩阵，考虑坝-库边界条件，进一步形成简化刚度阵；（2）计算坝面动水压力与等效节点力向量之间的转换矩阵[T]；（3）利用式（12）计算出库水有限元附加质量矩阵[Mp]1；（4）由（3）计算得到的附加质量矩阵是满阵，为了方便计算同时根据附加质量矩阵元素的物理意义，将[Mp]1中的每列元素相加，作为相应节点上的等效节点质量，从而将[Mp]1“对角化”为[Mp]2。

3.2 M ATLAB编程计算两种模型下重力坝的自振特性用MATLAB计算重力坝的自振特性，主要是利用子空间迭代法来实现［8］。过程如下：（1）形成单元刚度阵和单元集中质量阵，从而形成整体刚度阵和整体质量阵；（2）考虑坝体-库水系统的相互作用，需要在（1）中得到的整体质量阵的基础上加上附加质量阵，从而形成最终的等效整体质量阵；（3）利用子空间迭代法，对由（1）得到的整体刚度阵和由（2）得到的等效整体质量阵进行迭代计算，完成坝体自振特性的求解。

4 两种附加质量模型下重力坝动力分析

本文是以Koyna重力坝为例进行计算。Koyna重力坝位于印度西南部，1967年发生了里氏6.5级地震。震害情况为12～18号、24～30号坝段坝顶以下40 m左右产生了多条水平裂缝，下游面出现了严重的漏水现象，但是水库水位无明显下降。坝高103m，宽70m。地震发生时，水库水位为91.75 m。坝体材料参数：弹性模量为31 027 MPa；泊松比为0.15；密度为2 643 kg/m3；剪胀角为36.31°；初始压缩屈服预应力为13.0 MPa；混凝土抗压强度为24.1 MPa；混凝土抗拉强度为2.9 MPa。

图1给出的是混凝土拉伸屈服应力、拉伸损伤因子和开裂位移之间的关系。另外由于混凝土抗压强度一般较大，故没有考虑压缩引起的损伤。

4.1 计算两种附加质量模型下Koyna重力坝的自振频率图2是ABAQUS和MATLAB计算Koyna重力坝自振频率的有限元计算网格图。

图3（a）为利用MATLAB程序计算“对角化”后的库水有限元附加质量与Westergaard模型计算的结果图；图3（b）为图3（a）中节点上两种附加质量的比例及其均值图。

表1和表2分别为Koyna大坝空库及满库条件下的前4阶自振频率结果。

由上述计算结果可知：（1）用软件ABAQUS和MATLAB程序计算Koyna坝体的自振频率在空库和同种模型满库时的结果都十分接近，说明MATLAB程序是正确的；（2）以基频为例，Westergaard模型下的结果相比于库水有限元模型降低了5.59％，相比于库水有限元模型“对角化”降低了2.66％。同样的，对于第四阶模态而言，则分别降低了12.09％和1.96％。由此可见，Westergaard模型和“对角化”后的库水有限元模型都夸大了库水相互作用，对Westergaard模型进行折减是十分必要的；（3）由图3（b）可知，Westergaard模型取折减系数为0.8较宜。

4.2 重力坝动力响应分析图4为Koyna实测地震波加速度时程曲线。

计算得到的折减系数，利用ABAQUS中的混凝土塑性损伤模型分析坝体动力响应，Westergaard模型折减前后的损伤情况分布见图5。

由图5可以得知，考虑Westergaard模型折减后的计算结果显示坝体损伤情况降低了，而且在下游折坡处得到了与实际震害较符合的结果。

图6为按照文献［5］中提出的0.7折减后的损伤分布情况，显然与实际震害有出入，原因是文献［5］中计算的重力坝的上游坝面不是直立的。两图的坝踵处均出现了横向损伤，但在实际震害中是没有的，原因是刚性地基没有考虑地基的影响［11］。

4 结论

本文基于ABAQUS软件并辅以部分MATLAB程序进行了两种库水附加质量模型下重力坝的动力分析，分析结果表明，相比于库水有限元模型，Westergaard模型夸大了库水相互作用，应当进行折减，折减系数取0.8较为适宜，同时将折减后的Westergaard模型应用到坝体动力响应分析中，得到与实际震害相近的结果，从而验证了折减系数取值的正确性。

［1］涂劲.混凝土大坝抗震数值分析理论与工程应用［M］.北京：中国水利水电出版社，2007.

［2］王海波，李德玉.拱坝抗震设计理论与实践［M］.北京：中国水利水电出版社，2005.

［3］陈厚群，吴胜兴，党发宁，等.高拱坝抗震安全［M］.北京：中国电力出版社，2012.

［4］陈厚群，侯顺载，杨大伟.地震条件下拱坝库水相互作用的试验研究［J］.水利学报，1989（7）：29-39.

［5］李德玉，张伯艳，王海波，等.重力坝坝体—库水相互作用的振动台试验研究［J］.中国水利水电科学研究院学报，2003，1（3）：216-220.

［6］DL5073-2000，水工建筑物抗震设计规范［S］.

［7］李瓒，陈兴华，邓建波，等.混凝土拱坝设计［M］.北京：中国电力出版社，2000.

［8］徐斌，高跃飞，余龙.MATLBA有限元结构动力学分析与工程应用［M］.北京：清华大学出版社，2009.

［9］赵光恒.结构动力学［M］.北京：中国水利水电出版社，1996.

［10］黄耀英，孙大伟，田斌.两种库水附加质量模型的重力坝动力响应研究［J］.人民长江，2009，40（7）：64-66.

［11］郝明辉，张艳红，陈厚群.基于ABAQUS的黏弹性人工边界在重力坝分析中的应用［J］.中国水利水电科学研究院学报，2012，10（2）：120-126.

The dynam ic analysisof gravity dam under tw o added w ater m assm odels based on ABAQUS

XU Jin-ying，LI De-yu，GUO Sheng-shan

（Earthquake Engineering Research Center，IWHR，Beijing 100048，China）

Added water mass reflects the interaction between dam and water.Taking the gravity dam Koyna as an example in this paper，the natural vibration characteristics of the dam are calculated by using ABAQUS and MATLAB，under two different added water mass models which assume that the water is in⁃compressible.The result shows that the vibration frequency from the Westergaard model exaggerates the in⁃teraction between the dam and water compared with that of the finite element model and should be re⁃duced with a reasonable reduction factor of 0.8.The result of Westergaard model by considering the reduc⁃tion factor is consistent with the real damage of earthquake，thus verifying the accuracy of reduction factor values.

ABAQUS；gravity dam；dynamic analysis；finite element for reservoir；Westergaard；Reduc⁃tion factor

TV642

A

10.13244/j.cnki.jiwhr.2014.01.017

1672-3031（2014）01-0098-06

（责任编辑：王冰伟）

2013-03-04

徐金英（1989-），女，山东济南人，硕士生，主要从事水工结构抗震研究。E-mail：908464507@qq.com