基于数值算法和CAD的机器人工作空间三维建模

鲁 可，曹 毅，李秀娟

（河南工业大学 电气工程学院，河南 郑州 450007）

0 引言

机器人的工作空间定义为在结构限制下末端执行器能够达到的所有三维位置的集合[1]。工作空间也称为工作容积或者工作包络面。机器人工作空间的大小代表了机器人的活动范围，它是衡量机器人工作能力的一个重要的运动学指标[2]。

在机器人工作空间的计算中，我们最关心的是其相应的形状和体积。机器人工作空间的这两方面非常重要，因为它们影响着操作臂的设计和操作臂的灵活性。目前，机器人工作空间的求解方法主要有解析法、图解法以及数值法[1]。分析法可以确定工作空间边界曲面的闭合形式描述，但是这些方法通常与机器人运动学的非线性方程和倒置矩阵相关，因而非常复杂[3]。相对而言，数值法较为简单灵活。由于概率方法与逆雅可比计算无关，比较容易实现，因此研究人员通常所选择的概率方法是蒙特卡洛方法[4,5]。本文主要是通过一种基于数值方法和三维实体建模的方法来确定三维操作臂工作空间的3D形状和体积。

1 机器人操作臂的示例

本文列举了一种机器人操作臂的例子来阐述3D 建模方法。机器人操作臂如图1 所示，它包含一个回转关节和两个移动关节（RPP 模型）。该机器人操作臂的前向运动学方程为：

图1 一个RPP 机器人操作臂的模型Fig.1 A RPP robot manipulator model

对于RPP 模型来说，回转关节（J2）的活动范围没有限制，两个移动关节（J1 和J3）的移动范围分别为a1∈[0,1]和a3∈[0,1]。

2 主工作平面下的机器人运动学分析

在模型中，如果第一个关节固定，那么机器人操作的其余部分可以视作一个平面机器人，也就是说机器人的运动被限定在一个平面内。当机器人的第一个关节变量等于零时，定义这个平面为主工作平面。机器人在主工作平面上相应的运动学方程如下所示：

假设机器人在主工作平面上的边界闭合曲线可以得到，那么其3D 实体工作空间可以在Unigraphics 软件中通过沿关节1 的Z0轴旋转或伸展平面曲线计算得出。

由上述可知，获得机器人的3D 工作空间有两个重要步骤。首先是确定平面机器人的边界闭合曲线，然后通过将闭合曲线输入到Unigraphics 软件中来生成3D 工作空间。

3 生成近似平面工作空间

本文依据从机器人关节空间到工作空间的运动学映射关系，采用蒙特卡洛方法[6]计算机器人的工作空间。工作空间生成的原理就是关节变量与工作空间的映射关系[7]。

（1）生成近似工作空间。操作臂的关节空间采用蒙特卡洛方法来获得近似工作空间。一个由随机点构成的工作空间如图2 所示。

图2 蒙特卡洛点的分布图Fig.2 Distribution of monte Carlo point

图3 搜索轮廓点Fig.3 Search of outline points

（2）绘制边界曲线。首先，我们将每一层的工作空间被划分成不同的列。这样问题即简化成在一条线上寻找边界点。由于每列至少有一个蒙特卡洛点，边界点可以用以下步骤获得：①沿着Y 轴寻找极值ymax, ymin和相应的点Emax，Emin；②根据Y 坐标的值，将蒙特卡洛点分配到相应的列；③沿着X 轴在每一列上寻找边界点；④连接边界点建立边界曲线。从点Emax,依次寻找最近的点，用直线连接，直到所有的点构成闭合曲线为止。

通过上述四个步骤，可以得到RPP 机器人在主工作平面的边界曲线，如图4 所示。

保存所得到的连续的边界曲线到一个以.dat 为后缀的文件中。这个文件格式总共包含3 列，第1 列为x 轴坐标，第2 列为y 轴坐标，第3 列为z 轴坐标。

4 确定3D 工作空间

图4 RPP 机器人在主工作平面的边界曲线Fig.4 Boundary curve of main workspace of RPP robots

机器人的工作空间的3D 模型可以帮助人们更好的理解3D 空间中工作空间的形状和体积。在这里我们选用Unigraphics 软件来建立机器人工作空间的3D 模型。

我们将主工作空间平面的边界曲线输入到Unigraphics 软件中。利用该软件菜单“Insert→Curve→Spline”，在Spline popup 菜单中单击“Through Points”，然后在“Spline Through Points”中选择“Spline Through Points”，并设置曲线维度为1，单击“Points from file”。我们选择包含边界点的文件，单击“OK”即可。在菜单“Insert→Design Feature→Revolute”中，选择边界曲线为部分几何，单击Z 轴作为旋转轴，然后输入转动角度为（-90°, +90°），就可以得到3D 工作空间的实体模型。

对于RPP 机器人，其主工作平面的工作空间的边界曲线如图4 所示。采用上述步骤，将边界曲线输入到Unigraphics 软件中，由于第一个关节为棱柱，我们可以将边界曲线沿Z 轴第一个关节的运动范围a1（0,1）旋转，生成RPP 机器人的工作空间。如图5 所示，RPP 机器人的3D 工作空间是一个实体的圆柱。

在Unigraphics 软件中选择菜单“Analysis →Mass properties”，然后点击实体空间，可以得到RPP 机器人的工作空间的体积为3.1325。

我们还可以通过分析方法进一步的计算工作空间的体积。通过以下公式计算RPP 机器人的工作空间体积：

图5 RPP 机器人的实体工作空间Fig.5 Entity workspace of RPP robot

其中Va是分析表达式所求的体积，相应的体积值为π，约为3.1416。

通过数值分析和建模所得到的体积与分析方法所得到的体积偏差约为0.289%。显然，从工程的角度来看，这点偏差是微不足道的。

5 结论

本文提出了一种基于数值算法和实体建模的综合方法，介绍和分析了机器人操作臂的工作空间。该算法基于蒙特卡洛方法，并用3D 软件Unigraphics 进行建模。数值算法利用了从关节坐标系到任务坐标系的映射函数的性质，来获得由点云构成的主工作平面的近似2D 工作空间。主工作平面的边界点和曲线由平面机器人工作空间的切片得到。该方法利用随机概率和实体建模软件，为机器人操纵臂的设计和评价提供了一个有效和简单的工具。

[1]刘海涛，杨乐平，朱彦伟，韩大鹏.空间机器人工作空间研究[J].组合机床与自动化加工技术，2011，8.

[2](美)理查德.摩雷；李泽湘（译），等.机器人操作的数学导论[M].北京：机械工业出版社，1998.

[3]W. Yunfeng, G. S. Chirikjian, A diffusion-based algorithm for workspace generation of highly articulated manipulators, in Proc. of IEEE Int. Conf. of Robotics and Automation. Washington D.C，2002.

[4]D. Alciatore and C. Ng , Determining manipulator workspace boundaries using the monte carlo method and least squares segmentation,In Proc.of ASME Robotics:Kinematics,Dynamics and Controls，1994.

[5]J. Rastegar and D. Perel, Generation of manipulator workspace boundary geometry using the Monte Carlo method and interactive computer graphics, ASME J. of. Mechanical Design，1990.

[6]S.Samuel,M.Kelley,A,Pragada,Practical UNIGRAPHICS NX2 modeling for engineers[C].Wiley India Pvt.ltd, New Delhi-110002 india,2005.

[7]曹毅，李秀娟，宁祎，杨冠英.三维机器人工作空间及几何误差分析[J].机械科学与技术，2006，12.