构建数学模型 追求有效课堂

宗晓芳

数学模型思想是“数学课程标准（2011年版）”新增的核心概念之一，所谓“数学模型”，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构，包括字母、数学符号、代数式、方程……数学模型的建立要经历“问题情境———建立模型———求解验证”的过程。那么，如何在教学中引导学生经历建模过程，发展模型思想呢？

一、重现“生活原型”，渗透模型思想

新课标指出：“数模的建构过程，是从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，“日常生活”是帮助学生抽象出数学问题的源泉。将“生活原型”抽象为“数学模型”这是小学数学中渗透数学模型思想的最直观的方法。学生在日常生活中已经积累了一些关于数学模型的雏形，即“生活原型”，我们在教学时，就要引导学生将这些“生活原型”进行“数学化”，初步抽象出数学模型，使两者进行“有效链接”。

例如，“三角形两边之和大于第三边”这一特性对于学生来说比较抽象，即使是通过动手操作总结出来的，还可能只是表象的认识，不知所以然。在活动探究之前，利用多媒体再现这样一个生活情境：东东从学校出发到少年宫可以怎样走？（如下图）

生：有两条路可以走，第一条是从学校经电影院再到少年宫；第二条是从学校直接去少年宫。

师：哪条路最近呢？

生：从学校直接去少年宫这条路最近。理由是两点之间线段最短，从学校经电影院再到少年宫走的路线不是直线，构成了一个角度，两条路程相加肯定比一条直的线段要远？

师：这两种路线正好形成了一个三角形，那么三角形三条边之间有什么关系呢，相信刚才的讨论一定会带给大家新的启示，下面我们就带着这个问题一起来进行探究……

“走直线距离最短”，学生人人皆知，由这一走路的“生活问题”引出“两点之间线段最短”这一数学经验，将生活和数学进行了“有效链接”。在生活原型中，渗透了“两种路线中，走一条直线肯定比两条路线相加要短”这一模型的思想，而这两条路线正好构成了一个三角形，从而将三角形特征“两边之和一定大于第三边”进行了“对接”。这一环节，依托“生活原型”初步渗透“数学模型”，为学生接下来的探究提供建模的“支点”，渗透了建模的思想。

二、创设问题情境，抽象模型问题

三、体验活动过程，建立模型结构

如果说抽象出数学问题是建模的“起点”，那么建立模型结构便是建模的“目标”。它是对抽象出来的问题进行深入探究，并通过数学活动对问题进行概括、整理，从中寻找其普遍规律或特征，并能抽象出数学结构（数学模型），也就是第二次建模的过程。模型思想作为基本的数学思想重在体验和感悟，我们应该为学生创设开放的探究空间，让学生在活动中体验建模的过程，感悟建模的思想方法，积累基本的活动经验。

例如，在学生认识了“列”和“行”后，教师引导学生探究形成数对规范的书写格式。（多媒体课件展示几名学生的位置）

师：我们已经知道了如何确定行和列，那么图上小军的位置可以怎样表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教师板书两种情况）

（多媒体课件闪烁其他几个同学的位置，让同学记录下来，红点很快闪烁）

通过讨论认为第2列第2行可以记录为（2，2），初步引出数对的格式。学生模仿这种方法记录剩余同学的位置，出现了疑惑：小红第5列第4行，学生记录两种情况（5，4）或（4，5）。小刚第5行第4列，学生也记录了两种情况（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）两个不同的位置怎么可能用相同的数对来表示呢？（学生认识到在记录数对的时候要规定行和列的先后顺序）

师：为了不产生混淆，在写数对的时候，规定数对中列在前行在后。板书（列，行）

师：现在你能正确记录图上小军和明明的位置了吗？

学生记录：小军（4，3）；明明（3，5）……

教师没有直接告诉学生数对的规范格式，而是让学生经历了数对形成的过程，体验了数模的构建过程。这样的建模虽然比传统的“直接告知”要费时，但学生的认知经历了冲突———自我否定———认知肯定———再冲突———再否定———最后达成认知平衡的过程，感悟是深刻的。从知识的形成来看，经历了问题情境———建立模型（雏形）———求解验证（否定）———调整模型（成型）。这一模型的构建过程，是孩子们创造的过程，体验是快乐的。

四、解决实际问题，拓展模型外延

数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成技能，建立思维方法，再运用模型去解决问题，让学生理解并形成数学的思维，这种数学化的思想才是根本目的。所以在建模教学中，要引导学生将数学模型还原成具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。利用模型解决实际问题便是数学模型的有效拓展。

例如，“植树中的规律”通过探究总结出了植树的三种不同类型，即“两端都种，两端都不种、只种一端”，并总结出规律：两端都种，树的棵数是间隔加一；两端都不种，树的棵数是间隔减一；只种一端，树的棵数和间隔相等。抽象出数学模型后，让学生应用模型解决实际问题。如：马路一边从头到尾一共有25盏路灯，每两盏路灯之间相距50米，这条马路一共长多少米；一根木头10米，锯了4次，平均每段长多少米；小红从底楼到家一共要爬90级台阶，每层有15个台阶，小红家住几楼。

“路灯问题、锯木头问题、爬楼梯问题”都属于“植树问题”，它们有共同的结构特征，让学生尝试这些问题的解答，引导学生在解决问题的同时，比较归纳出这些问题的共同的结构，进一步明确“间隔数”与“物体”两者的对应关系，这是对“植树问题”模型结构的拓展，扩大了模型的外延，并能培养学生举一反三、触类旁通的解决问题的能力，同时促使数学知识向现实生活的有效“回归”。

在小学数学教材中，模型无处不在，小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在建模过程中，我们要以“数学化”的问题情境引导学生提炼数学问题，经历探究问题的过程，抽象出数学模型结构，通过求解验证模型结构的正确性，并在运用中拓展模型的内涵和外延，从而让学生在建模的过程中感悟模型思想的无穷魅力。

（作者单位：江苏张家港市泗港小学）endprint

数学模型思想是“数学课程标准（2011年版）”新增的核心概念之一，所谓“数学模型”，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构，包括字母、数学符号、代数式、方程……数学模型的建立要经历“问题情境———建立模型———求解验证”的过程。那么，如何在教学中引导学生经历建模过程，发展模型思想呢？

一、重现“生活原型”，渗透模型思想

新课标指出：“数模的建构过程，是从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，“日常生活”是帮助学生抽象出数学问题的源泉。将“生活原型”抽象为“数学模型”这是小学数学中渗透数学模型思想的最直观的方法。学生在日常生活中已经积累了一些关于数学模型的雏形，即“生活原型”，我们在教学时，就要引导学生将这些“生活原型”进行“数学化”，初步抽象出数学模型，使两者进行“有效链接”。

例如，“三角形两边之和大于第三边”这一特性对于学生来说比较抽象，即使是通过动手操作总结出来的，还可能只是表象的认识，不知所以然。在活动探究之前，利用多媒体再现这样一个生活情境：东东从学校出发到少年宫可以怎样走？（如下图）

生：有两条路可以走，第一条是从学校经电影院再到少年宫；第二条是从学校直接去少年宫。

师：哪条路最近呢？

生：从学校直接去少年宫这条路最近。理由是两点之间线段最短，从学校经电影院再到少年宫走的路线不是直线，构成了一个角度，两条路程相加肯定比一条直的线段要远？

师：这两种路线正好形成了一个三角形，那么三角形三条边之间有什么关系呢，相信刚才的讨论一定会带给大家新的启示，下面我们就带着这个问题一起来进行探究……

“走直线距离最短”，学生人人皆知，由这一走路的“生活问题”引出“两点之间线段最短”这一数学经验，将生活和数学进行了“有效链接”。在生活原型中，渗透了“两种路线中，走一条直线肯定比两条路线相加要短”这一模型的思想，而这两条路线正好构成了一个三角形，从而将三角形特征“两边之和一定大于第三边”进行了“对接”。这一环节，依托“生活原型”初步渗透“数学模型”，为学生接下来的探究提供建模的“支点”，渗透了建模的思想。

二、创设问题情境，抽象模型问题

三、体验活动过程，建立模型结构

如果说抽象出数学问题是建模的“起点”，那么建立模型结构便是建模的“目标”。它是对抽象出来的问题进行深入探究，并通过数学活动对问题进行概括、整理，从中寻找其普遍规律或特征，并能抽象出数学结构（数学模型），也就是第二次建模的过程。模型思想作为基本的数学思想重在体验和感悟，我们应该为学生创设开放的探究空间，让学生在活动中体验建模的过程，感悟建模的思想方法，积累基本的活动经验。

例如，在学生认识了“列”和“行”后，教师引导学生探究形成数对规范的书写格式。（多媒体课件展示几名学生的位置）

师：我们已经知道了如何确定行和列，那么图上小军的位置可以怎样表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教师板书两种情况）

（多媒体课件闪烁其他几个同学的位置，让同学记录下来，红点很快闪烁）

通过讨论认为第2列第2行可以记录为（2，2），初步引出数对的格式。学生模仿这种方法记录剩余同学的位置，出现了疑惑：小红第5列第4行，学生记录两种情况（5，4）或（4，5）。小刚第5行第4列，学生也记录了两种情况（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）两个不同的位置怎么可能用相同的数对来表示呢？（学生认识到在记录数对的时候要规定行和列的先后顺序）

师：为了不产生混淆，在写数对的时候，规定数对中列在前行在后。板书（列，行）

师：现在你能正确记录图上小军和明明的位置了吗？

学生记录：小军（4，3）；明明（3，5）……

教师没有直接告诉学生数对的规范格式，而是让学生经历了数对形成的过程，体验了数模的构建过程。这样的建模虽然比传统的“直接告知”要费时，但学生的认知经历了冲突———自我否定———认知肯定———再冲突———再否定———最后达成认知平衡的过程，感悟是深刻的。从知识的形成来看，经历了问题情境———建立模型（雏形）———求解验证（否定）———调整模型（成型）。这一模型的构建过程，是孩子们创造的过程，体验是快乐的。

四、解决实际问题，拓展模型外延

数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成技能，建立思维方法，再运用模型去解决问题，让学生理解并形成数学的思维，这种数学化的思想才是根本目的。所以在建模教学中，要引导学生将数学模型还原成具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。利用模型解决实际问题便是数学模型的有效拓展。

例如，“植树中的规律”通过探究总结出了植树的三种不同类型，即“两端都种，两端都不种、只种一端”，并总结出规律：两端都种，树的棵数是间隔加一；两端都不种，树的棵数是间隔减一；只种一端，树的棵数和间隔相等。抽象出数学模型后，让学生应用模型解决实际问题。如：马路一边从头到尾一共有25盏路灯，每两盏路灯之间相距50米，这条马路一共长多少米；一根木头10米，锯了4次，平均每段长多少米；小红从底楼到家一共要爬90级台阶，每层有15个台阶，小红家住几楼。

“路灯问题、锯木头问题、爬楼梯问题”都属于“植树问题”，它们有共同的结构特征，让学生尝试这些问题的解答，引导学生在解决问题的同时，比较归纳出这些问题的共同的结构，进一步明确“间隔数”与“物体”两者的对应关系，这是对“植树问题”模型结构的拓展，扩大了模型的外延，并能培养学生举一反三、触类旁通的解决问题的能力，同时促使数学知识向现实生活的有效“回归”。

在小学数学教材中，模型无处不在，小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在建模过程中，我们要以“数学化”的问题情境引导学生提炼数学问题，经历探究问题的过程，抽象出数学模型结构，通过求解验证模型结构的正确性，并在运用中拓展模型的内涵和外延，从而让学生在建模的过程中感悟模型思想的无穷魅力。

（作者单位：江苏张家港市泗港小学）endprint

数学模型思想是“数学课程标准（2011年版）”新增的核心概念之一，所谓“数学模型”，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地、概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构，包括字母、数学符号、代数式、方程……数学模型的建立要经历“问题情境———建立模型———求解验证”的过程。那么，如何在教学中引导学生经历建模过程，发展模型思想呢？

一、重现“生活原型”，渗透模型思想

新课标指出：“数模的建构过程，是从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程。”可见，“日常生活”是帮助学生抽象出数学问题的源泉。将“生活原型”抽象为“数学模型”这是小学数学中渗透数学模型思想的最直观的方法。学生在日常生活中已经积累了一些关于数学模型的雏形，即“生活原型”，我们在教学时，就要引导学生将这些“生活原型”进行“数学化”，初步抽象出数学模型，使两者进行“有效链接”。

例如，“三角形两边之和大于第三边”这一特性对于学生来说比较抽象，即使是通过动手操作总结出来的，还可能只是表象的认识，不知所以然。在活动探究之前，利用多媒体再现这样一个生活情境：东东从学校出发到少年宫可以怎样走？（如下图）

生：有两条路可以走，第一条是从学校经电影院再到少年宫；第二条是从学校直接去少年宫。

师：哪条路最近呢？

生：从学校直接去少年宫这条路最近。理由是两点之间线段最短，从学校经电影院再到少年宫走的路线不是直线，构成了一个角度，两条路程相加肯定比一条直的线段要远？

师：这两种路线正好形成了一个三角形，那么三角形三条边之间有什么关系呢，相信刚才的讨论一定会带给大家新的启示，下面我们就带着这个问题一起来进行探究……

“走直线距离最短”，学生人人皆知，由这一走路的“生活问题”引出“两点之间线段最短”这一数学经验，将生活和数学进行了“有效链接”。在生活原型中，渗透了“两种路线中，走一条直线肯定比两条路线相加要短”这一模型的思想，而这两条路线正好构成了一个三角形，从而将三角形特征“两边之和一定大于第三边”进行了“对接”。这一环节，依托“生活原型”初步渗透“数学模型”，为学生接下来的探究提供建模的“支点”，渗透了建模的思想。

二、创设问题情境，抽象模型问题

三、体验活动过程，建立模型结构

如果说抽象出数学问题是建模的“起点”，那么建立模型结构便是建模的“目标”。它是对抽象出来的问题进行深入探究，并通过数学活动对问题进行概括、整理，从中寻找其普遍规律或特征，并能抽象出数学结构（数学模型），也就是第二次建模的过程。模型思想作为基本的数学思想重在体验和感悟，我们应该为学生创设开放的探究空间，让学生在活动中体验建模的过程，感悟建模的思想方法，积累基本的活动经验。

例如，在学生认识了“列”和“行”后，教师引导学生探究形成数对规范的书写格式。（多媒体课件展示几名学生的位置）

师：我们已经知道了如何确定行和列，那么图上小军的位置可以怎样表示呢？

生：第4列第3行，第3行第4列（教师板书两种情况）

（多媒体课件闪烁其他几个同学的位置，让同学记录下来，红点很快闪烁）

通过讨论认为第2列第2行可以记录为（2，2），初步引出数对的格式。学生模仿这种方法记录剩余同学的位置，出现了疑惑：小红第5列第4行，学生记录两种情况（5，4）或（4，5）。小刚第5行第4列，学生也记录了两种情况（4，5）或（5，4）。

生：（疑惑）两个不同的位置怎么可能用相同的数对来表示呢？（学生认识到在记录数对的时候要规定行和列的先后顺序）

师：为了不产生混淆，在写数对的时候，规定数对中列在前行在后。板书（列，行）

师：现在你能正确记录图上小军和明明的位置了吗？

学生记录：小军（4，3）；明明（3，5）……

教师没有直接告诉学生数对的规范格式，而是让学生经历了数对形成的过程，体验了数模的构建过程。这样的建模虽然比传统的“直接告知”要费时，但学生的认知经历了冲突———自我否定———认知肯定———再冲突———再否定———最后达成认知平衡的过程，感悟是深刻的。从知识的形成来看，经历了问题情境———建立模型（雏形）———求解验证（否定）———调整模型（成型）。这一模型的构建过程，是孩子们创造的过程，体验是快乐的。

四、解决实际问题，拓展模型外延

数学模型的建立不是最终目的，而让学生形成技能，建立思维方法，再运用模型去解决问题，让学生理解并形成数学的思维，这种数学化的思想才是根本目的。所以在建模教学中，要引导学生将数学模型还原成具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。利用模型解决实际问题便是数学模型的有效拓展。

例如，“植树中的规律”通过探究总结出了植树的三种不同类型，即“两端都种，两端都不种、只种一端”，并总结出规律：两端都种，树的棵数是间隔加一；两端都不种，树的棵数是间隔减一；只种一端，树的棵数和间隔相等。抽象出数学模型后，让学生应用模型解决实际问题。如：马路一边从头到尾一共有25盏路灯，每两盏路灯之间相距50米，这条马路一共长多少米；一根木头10米，锯了4次，平均每段长多少米；小红从底楼到家一共要爬90级台阶，每层有15个台阶，小红家住几楼。

“路灯问题、锯木头问题、爬楼梯问题”都属于“植树问题”，它们有共同的结构特征，让学生尝试这些问题的解答，引导学生在解决问题的同时，比较归纳出这些问题的共同的结构，进一步明确“间隔数”与“物体”两者的对应关系，这是对“植树问题”模型结构的拓展，扩大了模型的外延，并能培养学生举一反三、触类旁通的解决问题的能力，同时促使数学知识向现实生活的有效“回归”。

在小学数学教材中，模型无处不在，小学生学习数学知识的过程，实际上就是对一系列数学模型的理解、把握的过程。在建模过程中，我们要以“数学化”的问题情境引导学生提炼数学问题，经历探究问题的过程，抽象出数学模型结构，通过求解验证模型结构的正确性，并在运用中拓展模型的内涵和外延，从而让学生在建模的过程中感悟模型思想的无穷魅力。

（作者单位：江苏张家港市泗港小学）endprint