重视培养初中生数学整体思想之缘由

汪国丞

摘要：在数学的学习过程中，习得数学知识是结果，依靠数学思想方法关注结果的形成过程，却能使人们更深刻地认识数学的价值.系统论的整体原理应用于数学的教与学形成数学整体思想，整体思想在数学思想系统中有特殊的地位，与众多数学思想都有密切的联系.在初中阶段注重培养学生的整体思想，对充分发挥数学教育的整体功能，实现数学创造性教育和提高教学质量都有重要作用.

关键词：整体思想数学教学

米山国藏说：“不管学生从事什么业务工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、思想方法随时随地发生作用，使他们受益终生.”而现代数学教育观强调，数学教育应发展学生的“才”是指运算能力、推理能力、分析与综合能力、洞察力、直觉思维能力、独立分析问题和解决问题的能力等.其中整体思维能力作为控制论、信息论、系统论中整体原理在教学中的反映，与上面各能力有着密切的联系，数学的整体思想对学生学好数学发挥着重要的作用.整体原理表明：系统整体的功能=系统各组成部分的功能之和+各部分相互联系产生的功能之和.而我们数学教学是一个多元素、多方位、多功能的教育过程，它要求整体的各方面密切联系、协同合作.如果只重视各组成部分的功能，而不充分发挥它们相互联系所产生的功能，必将回到偏重知识细节的教学，且有可能造成人为割裂章节、学科的知识结构的后果，因而不利于学生对知识的全面掌握与深刻理解，在总体上把握不住学习的方向.

一、培养学生的整体思想，能提高初中学生解决数学问题的能力

初中生解决问题时常会出现三种不良的现象：想当然，顾此失彼，无所适从，这些都因为缺乏对问题的了解及对各部分知识之间关系的认识，从而无法解决问题.格式塔学习理论认为：学习即知觉重组或认知重组.学习不是把无意义的事情任意联在一起，知觉重组或认知重组注重的是要认清事物的内在联系、结构和性质；顿悟学习可以避免多余的失误，同时又有助于迁移，知识的迁移只有在学生真正了解了事物整体的本质，才会正确地发生，狭隘的练习或理解无法迁移；真正的学习不会遗忘，对整体的理解会直接进入长时记忆.

根据这些观点，在解决问题时，个体首先对问题产生整体印象，然后将细节纳入整体，细节被认真充分考虑后，又会诱发重新建构整体并使问题得以解决.

例如，在学习方程时，学生总会碰到这样类型的问题：关于x的方程（m-3）xm2-7+mx=1是一元二次方程，求m的值.这是利用方程的概念来解决的，如果对概念整体把握，就能注意到这个问题中的两个方面指数和系数，如果学生没有整体把握概念，就很容易只注意到指数这一个方面，也就会得到错误的答案.若将此题改为：已知方程（m-3）xm2-7+mx=1是关于x的方程，求m的值.则在整体考虑的同时，还需借助分类思想.因此，面对数学问题时，整体地分析、整体地思考、整体地把握猜想，都可能使问题得以明了简化，甚至作为其他思想的基础.数学的每一部分知识都是系统性很强的整体，整体思想是数学的核心思想之一，是数学发现的源泉，是解决数学问题的钥匙.

现代教育理论认为，回顾解题是学习的最重要环节，在数学解题过程中，进行了必要的解题活动后，回过头来对自己的解题活动加以分析研究，称之为回顾解题，这是对提高学生解题能力最有意义的阶段.

还以上面的方程题为例，解答完后，不管正确与否，若能重新观察分析这个方程的每一项每一个细节，对照方程的定义判断自己的解答是否完整正确，将有可能发现错误、获得经验、开放思路，收获良多.回顾解题的过程实际就是从整体上重新认识解题的全部过程，并作出可能的推广，从而整体上把握解决问题的方法、策略和思想.缺少回顾解题的过程，就缺少对问题整体上的认识，已解决的问题在学生的认识结构中都只会是一个个孤立的点，不能和认知结构的主体密切相连，从而失去了解题的意义.

二、整体思想符合数学思维的特性，有利于发展学生的个体思维水平

数学是思维的体操，数学思维除具有思维的概括性、间接性外，还具有整体性、抽象性、严谨性、相似性和问题性等特点.数学思维的整体性主要指把学生所学的概念、理论等多方面的内容相联系，放在同一个理论体系中表述、应用.思想由思维产生，培养初中学生的数学整体思想，就是要锻炼其思维的整体性，符合发展初中生数学思维的要求.因此，通过对整体思想的学习与应用，是完善学生数学思想的一个重要方面.

学生个体的思维水平由数学思维品质来衡量，深刻性是其他思维品质的基础，学生对问题要有深刻的认识、周密的思考，才能对其做出全面而准确的判断.整体思想强调的正是要深层次地把握条件和结论的本质联系，从全局出发进行深刻地分析、周密地思考、发现问题的本质，从而做出科学的判断.所以数学整体思想的培养有利于发展学生数学思维的深刻性，进而提高个体的思维水平.

例如，如图1，△ABC的中线CD与AE交于点O，CD与AE将△ABC分为4个部分，如果S△ABC=1，求这4个部分的面积.

图1分析：显然要想直接孤立地求出每一部分的面积是很困难的，必须把各个部分联系起来进行观察.不难看出整个图形中有4个面积为12的三角形，即S△ACD、S△BCD、S△ACE和S△ABE，这时解决问题的关键就在于建立四边形OEBD与△AOD和△EOC的联系了.

解：连接OB.

根据等底等高的三角形面积相等，有S△ACD=S△BOD及S△COE= S△BOE.

∵S△ACD=S△BCD=S△ACE=S△ABE=12S△ABC=12，（这是整体与局部之间的关系）

∴S△ACD-S△AOC=S△ACE-S△AOC，即S△AOD= S△COE.

因此，S△AOD=S△BOD=S△COE=S△BOE.（这些都是局部与局部之间的关系）

设S△AOD=x，则S△BOD=S△BOE=x.

∴3x=12，解得x=16.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在这个问题的解决过程中，通过对图形的仔细观察，首先发现图形的局部与整体之间的等量关系，然后探索几个局部图形之间量的关系.求得解后，再推广到整个图形的各个部分，完成解答.这些都是在对图形有了深刻认识的基础上进行的，如果看不到图形的结构、局部的关联，就不会想到将之分解，这充分体现了整体思想的指导作用.同时也表明，为了找到整体与局部的关系，往往需要发现局部与局部之间的关系.学生思维的深刻性在这一过程中就不知不觉地向前发展了.

图2此例可做如下变式，以促进学生的进一步思考，促进思维的进一步发展.

如图2，CD是△ABC的中线，E、F是边BC的三等分点，AE与AF分别交CD于M、N两点，它们将△ABC分为6个部分，如果S△ABC=1，求这6个部分的面积.

三、整体思想的培养，有利于提高学生的创造力

思维分三类：逻辑思维、形象思维和直觉思维.直觉思维是前两种思维结合到一定程度后，产生的质的飞跃.直觉思维也要求对问题要有整体的认识，思维的结果对某些细节可能模糊不清，但整体画面却一览无余.罗增儒先生认为，在前面三种思维的基础上可以形成更高级的数学思维——数学创造性思维.无论是直觉思维还是创造性思维都可体现于数学灵感.面对困难问题思考时，常常可以跳过一些中间步骤，而直接关注其本质，这样更容易获得解决问题的策略办法.如果要弄清其每一步骤，就可能寸步难行或走弯路，也就是说整体的予以考虑就可能更快而准确地找到处理问题的途径.要培养创造力就必须培养学生的整体思想.

例如，足球赛所用的足球由边长相等的五边形、六边形缝合而成，则它有几个五边形和几个六边形？将其看作一个接近于球的多面体，利用欧拉公式：面数（V）+顶点数（F）-棱数（E）=2.设五边形、六边形分别有x个和y个，则V=x+y；因每两个面相交有一条棱，则E=12（5x+6y）；因每三条棱交于一点，每条棱有两个顶点得F=12（5x+6y）×23；代入公式计算得x=12.因为每个六边形有三边和五边形的边重合，因此重合的边数为12×6y=3y=5x，解得y=20.在这样一个问题中，足球面是一个整体，是一个由五边形、六边形组成的多面体的表面.顶点数与棱数的表示，先从细节考虑，再扩展到整体，最后利用公式计算，而5x与3y都表示五边形与六边形相交的棱总数.在这样一个问题中，整体思想得到了充分的体现，学生必会学有所悟，创造能力得以发展.

四、整体思想的培养，有利于发展学生的审美认识

数学美蕴涵于各种数学思想方法之中，整体思想也不例外.将复杂的对象看作一个整体可使问题形式得以化简，体现了简单美.问题的各部分之间相互联系、和谐一致体现了统一美.部分与整体之间互相协调或互相转化等，体现了协调美.如此，学生在了解思想方法的同时获得审美修养，更加感受到学习数学的快乐.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值过程，令1+1+1+1+…=x，则有方程x=1+x，解得x=3+52，整体换元法使解题过程精美简捷.

正如数学家庞加莱所说：数学的优美感不过就是问题的解答适合我们心灵的需要而产生的一种满足.数学整体思想的美感因素和美育价值，充分体现了数学发现的魅力和数学创造的精神，它们在问题解决过程中，时时刻刻显露出令人叫绝的优美特征，启迪和激励着学习者的学习兴趣和创造欲望.加强数学整体思想的教学，适时点拨和有意引导使学生在“数学美”的熏陶下得到美的启迪，有利于认识数学的科学意义和文化内涵.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在这个问题的解决过程中，通过对图形的仔细观察，首先发现图形的局部与整体之间的等量关系，然后探索几个局部图形之间量的关系.求得解后，再推广到整个图形的各个部分，完成解答.这些都是在对图形有了深刻认识的基础上进行的，如果看不到图形的结构、局部的关联，就不会想到将之分解，这充分体现了整体思想的指导作用.同时也表明，为了找到整体与局部的关系，往往需要发现局部与局部之间的关系.学生思维的深刻性在这一过程中就不知不觉地向前发展了.

图2此例可做如下变式，以促进学生的进一步思考，促进思维的进一步发展.

如图2，CD是△ABC的中线，E、F是边BC的三等分点，AE与AF分别交CD于M、N两点，它们将△ABC分为6个部分，如果S△ABC=1，求这6个部分的面积.

三、整体思想的培养，有利于提高学生的创造力

思维分三类：逻辑思维、形象思维和直觉思维.直觉思维是前两种思维结合到一定程度后，产生的质的飞跃.直觉思维也要求对问题要有整体的认识，思维的结果对某些细节可能模糊不清，但整体画面却一览无余.罗增儒先生认为，在前面三种思维的基础上可以形成更高级的数学思维——数学创造性思维.无论是直觉思维还是创造性思维都可体现于数学灵感.面对困难问题思考时，常常可以跳过一些中间步骤，而直接关注其本质，这样更容易获得解决问题的策略办法.如果要弄清其每一步骤，就可能寸步难行或走弯路，也就是说整体的予以考虑就可能更快而准确地找到处理问题的途径.要培养创造力就必须培养学生的整体思想.

例如，足球赛所用的足球由边长相等的五边形、六边形缝合而成，则它有几个五边形和几个六边形？将其看作一个接近于球的多面体，利用欧拉公式：面数（V）+顶点数（F）-棱数（E）=2.设五边形、六边形分别有x个和y个，则V=x+y；因每两个面相交有一条棱，则E=12（5x+6y）；因每三条棱交于一点，每条棱有两个顶点得F=12（5x+6y）×23；代入公式计算得x=12.因为每个六边形有三边和五边形的边重合，因此重合的边数为12×6y=3y=5x，解得y=20.在这样一个问题中，足球面是一个整体，是一个由五边形、六边形组成的多面体的表面.顶点数与棱数的表示，先从细节考虑，再扩展到整体，最后利用公式计算，而5x与3y都表示五边形与六边形相交的棱总数.在这样一个问题中，整体思想得到了充分的体现，学生必会学有所悟，创造能力得以发展.

四、整体思想的培养，有利于发展学生的审美认识

数学美蕴涵于各种数学思想方法之中，整体思想也不例外.将复杂的对象看作一个整体可使问题形式得以化简，体现了简单美.问题的各部分之间相互联系、和谐一致体现了统一美.部分与整体之间互相协调或互相转化等，体现了协调美.如此，学生在了解思想方法的同时获得审美修养，更加感受到学习数学的快乐.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值过程，令1+1+1+1+…=x，则有方程x=1+x，解得x=3+52，整体换元法使解题过程精美简捷.

正如数学家庞加莱所说：数学的优美感不过就是问题的解答适合我们心灵的需要而产生的一种满足.数学整体思想的美感因素和美育价值，充分体现了数学发现的魅力和数学创造的精神，它们在问题解决过程中，时时刻刻显露出令人叫绝的优美特征，启迪和激励着学习者的学习兴趣和创造欲望.加强数学整体思想的教学，适时点拨和有意引导使学生在“数学美”的熏陶下得到美的启迪，有利于认识数学的科学意义和文化内涵.

∴S△AOD=S△COE=16，

S四OEBD=16×2=13，

S△AOC=1-16×2-13=13.

在这个问题的解决过程中，通过对图形的仔细观察，首先发现图形的局部与整体之间的等量关系，然后探索几个局部图形之间量的关系.求得解后，再推广到整个图形的各个部分，完成解答.这些都是在对图形有了深刻认识的基础上进行的，如果看不到图形的结构、局部的关联，就不会想到将之分解，这充分体现了整体思想的指导作用.同时也表明，为了找到整体与局部的关系，往往需要发现局部与局部之间的关系.学生思维的深刻性在这一过程中就不知不觉地向前发展了.

图2此例可做如下变式，以促进学生的进一步思考，促进思维的进一步发展.

如图2，CD是△ABC的中线，E、F是边BC的三等分点，AE与AF分别交CD于M、N两点，它们将△ABC分为6个部分，如果S△ABC=1，求这6个部分的面积.

三、整体思想的培养，有利于提高学生的创造力

思维分三类：逻辑思维、形象思维和直觉思维.直觉思维是前两种思维结合到一定程度后，产生的质的飞跃.直觉思维也要求对问题要有整体的认识，思维的结果对某些细节可能模糊不清，但整体画面却一览无余.罗增儒先生认为，在前面三种思维的基础上可以形成更高级的数学思维——数学创造性思维.无论是直觉思维还是创造性思维都可体现于数学灵感.面对困难问题思考时，常常可以跳过一些中间步骤，而直接关注其本质，这样更容易获得解决问题的策略办法.如果要弄清其每一步骤，就可能寸步难行或走弯路，也就是说整体的予以考虑就可能更快而准确地找到处理问题的途径.要培养创造力就必须培养学生的整体思想.

例如，足球赛所用的足球由边长相等的五边形、六边形缝合而成，则它有几个五边形和几个六边形？将其看作一个接近于球的多面体，利用欧拉公式：面数（V）+顶点数（F）-棱数（E）=2.设五边形、六边形分别有x个和y个，则V=x+y；因每两个面相交有一条棱，则E=12（5x+6y）；因每三条棱交于一点，每条棱有两个顶点得F=12（5x+6y）×23；代入公式计算得x=12.因为每个六边形有三边和五边形的边重合，因此重合的边数为12×6y=3y=5x，解得y=20.在这样一个问题中，足球面是一个整体，是一个由五边形、六边形组成的多面体的表面.顶点数与棱数的表示，先从细节考虑，再扩展到整体，最后利用公式计算，而5x与3y都表示五边形与六边形相交的棱总数.在这样一个问题中，整体思想得到了充分的体现，学生必会学有所悟，创造能力得以发展.

四、整体思想的培养，有利于发展学生的审美认识

数学美蕴涵于各种数学思想方法之中，整体思想也不例外.将复杂的对象看作一个整体可使问题形式得以化简，体现了简单美.问题的各部分之间相互联系、和谐一致体现了统一美.部分与整体之间互相协调或互相转化等，体现了协调美.如此，学生在了解思想方法的同时获得审美修养，更加感受到学习数学的快乐.

例如，探索式子1+1+1+1+…的求值过程，令1+1+1+1+…=x，则有方程x=1+x，解得x=3+52，整体换元法使解题过程精美简捷.

正如数学家庞加莱所说：数学的优美感不过就是问题的解答适合我们心灵的需要而产生的一种满足.数学整体思想的美感因素和美育价值，充分体现了数学发现的魅力和数学创造的精神，它们在问题解决过程中，时时刻刻显露出令人叫绝的优美特征，启迪和激励着学习者的学习兴趣和创造欲望.加强数学整体思想的教学，适时点拨和有意引导使学生在“数学美”的熏陶下得到美的启迪，有利于认识数学的科学意义和文化内涵.