光子晶体全反射隧穿效应中偏振光的场分布

刘启能

(重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067)

1 引言

光子晶体是其折射率在空间呈周期性变化的人造带隙材料，利用光子晶体的带隙可以十分方便地控制光波在光子晶体的传播。因此对光子晶体的研究很快成为光学的前沿领域内一个活跃的课题。光子晶体根据其空间周期性的维数不同，分为一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶体。由于一维光子晶体的结构最简单、研究最方便，但它却具有其他高维光子晶体的基本属性。因此对一维光子晶体的研究成为光子晶体研究领域内的重要内容。

关于光子晶体的带隙特性［1－3］、缺陷模特性［4－6］、滤波特性［7－9］等方面人们都做了深入的研究。近年来人们对一维光子晶体中的全反射隧穿现象开展了研究，文献［10］对利用特征矩阵法研究了TE波在一维光子晶体的全反射隧穿现象，得出了TE波的全反射隧穿现象的一些基本特征。随后文献［11］对TE波和TM波两种偏振波在一维光子晶体的全反射隧穿现象开展了深入的研究，得出了TE波和TM波两种偏振波的全反射隧穿现象随入射角、周期数以及周期厚度的变化规律。随后文献［12］又对圆柱光子晶体的全反射隧穿滤波特性开展了研究，发现圆柱光子晶体的全反射隧穿效应具有良好的梳状滤波特性。为了进一步解释一维光子晶体全反射隧穿效应的产生原因，文献［13］利用多光束干涉理论推导出一维光子晶体的全反射隧穿导带频率满足的解析公式，从理论上解释了一维光子晶体的全反射隧穿效应产生的物理机理。关于全反射隧穿现象中光场在一维光子晶体内部的分布问题，目前还未看到相关的研究介绍。这是一个很有理论价值的问题，通过对它的研究可以使人们掌握全反射隧穿现象中光场在一维光子晶体内部的分布规律，进一步认识一维光子晶体全反射隧穿现象的内在规律。本文将推导TM波和TE波两种偏振波在一维光子晶体内部的光场的分布公式。利用这个公式研究全反射隧穿现象中两种偏振波在一维光子晶体内部其光场的分布规律。

2 公式推导

推导TM波在一维光子晶体中的光场分布公式，如图1所示。

图1 TM波在一维光子晶体中的光场Fig.1 Light intensity of TM wave in 1D photonic crystal

设TM波在入射空间磁矢量为H0、电矢量的切向分量为E0//，TM波通过一维光子晶体中任意一层Δzm后的磁矢量为H、电矢量的切向分量为E//。根据特征矩阵的关系有:

其中，Mi为TM波通过第i层介质中的特征矩阵;M为TM波通过前m层介质中的特征矩阵。由式(1)得:

展开式(2)有:

由图1可知:

式(4)和式(5)式中的r是该一维光子晶体对TM波的反射系数。

将式(4)和式(5)代入式(3)，并利用 H=

由式(6)得出TM波在一维光子晶体中任意一层Δzm后光场的分布公式:

同理可以推出了对于TE波在一维光子晶体中光场的分布公式为:

式中，r为该一维光子晶体对TE波的反射系数;M为TE波通过前m层介质中的特征矩阵。

利用式(7)和式(8)就可以研究一维光子晶体全反射隧穿效应中两种偏振光场的分布规律。

3 光场分布

设计这种一维光子晶体，如图2所示。该一维光子晶体由氟化镁(其折射率为n1=1.38，厚度为d1)和硫化锌(其折射率为n2=2.38，厚度为d2)两种介质周期性地交替构成。设入射空间和出射空间的介质也为硫化锌，即n2=n0。由于该光子晶体的两边都为硫化锌，因此它的周期数为N+0.5，N为整数。又因n0＞n1，所以当光大于全反射角入射该光子晶体时会产生全反射现象，其全反射角为θm=arcsin(n1/n0)=0.62 rad。取N=5、n1d1=n2d2=λ0/4，λ0=600 nm，对应的圆频率ω0=2πc/λ0，c为真空中光速。

图2 一维光子晶体Fig.2 1－D photonic crystal

利用特征矩阵法计算当圆频率ω=2ω0时的TE波和TM波入射该一维光子晶体，其透射率随入射角的响应曲线，如图3和图4所示。

由图3可以看出:当TE波小于全反射角入射时，在θ0=0－0.55 rad范围其透射率较大，在θ0=0.55～0.62 rad范围其透射率为0，这是光子晶体禁带。当TE波大于全反射角(0.62 rad)入射时，在入射角θ0=0.98～1.02 rad范围内出现了多个密集的透射峰，即出现了全反射隧穿现象。大于全反射角的其他角度其透射率仍为0。

由图4可以看出:当TM波小于全反射角入射时，在θ0=0～0.62 rad范围其透射率较大，当TM波大于全反射角入射时，在入射角θ0=0.76～0.84 rad范围内出现了多个密集的透射峰，即出现了全反射隧穿现象。大于全反射角的其他角度其透射率仍为0。

图3 透射率随入射角的响应曲线(TE波)Fig.3 Response curves of transmissivity versus incident angle

图4 透射率随入射角的响应曲线(TM波)Fig.4 Response curves of transmissivity versus incident angle

对于发生全反射隧穿现象时一维光子晶体内部两种偏振光的场分布特征，下面研究两种情况，一是出现全反射隧穿峰处两种偏振光在一维光子晶体内部光的场分布，二是没有出现全反射隧穿峰处两种偏振光在一维光子晶体内部光的场分布。

3.1 隧穿峰处的场分布

由图3知道，当圆频率ω =2ω0时，TE波在入射角θ0=0.98－1.02 rad范围内出现全反射隧穿峰。固定ω =2ω0和θ0=1 rad，由式(8)计算出TE波的光场随周期数的分布曲线，如图5所示。由图5可以看出一维光子晶体内部TE波的光场分布有以下特征:

①随着TE波在一维光子晶体内部的传播深度的增加其光场分布近似呈周期性的变化。三个较大的极大值分别出现在0.8周期、2.8周期、4.8周期处，三个较小的极小值分别出现在0.2周期、2.2周期、4.2周期处。

②光场分布随TE波在一维光子晶体内部的传播深度的增加略有增加。第一个较大的极大值为3.2，第二个较大的极大值为3.5，第三个较大的极大值为3.6。这就保证了TE波能够顺利穿过该一维光子晶体而出现全反射隧穿现象。

③TE波在一维光子晶体内部的每个分界面处(即周期数为 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 处)光场都是连续分布的。这是因为电场在界面两侧切向分量连续，而TE波只有切向分量，所以在每个分界面处电场都是连续分布的。

由图4知道，TM波在入射角 θ0=0.76～0.84 rad范围内出现全反射隧穿峰。固定ω=2ω0和θ0=0.8 rad，由式(7)计算出TM波光场随周期数的分布曲线，如图6所示。由图6可以看出该一维光子晶体内部TM波的光场分布有以下特征:

①随着TM波在一维光子晶体内部的传播深度的增加其光场没有衰减，但光场分布的周期性不明显，要比TE波的光场分布更为复杂，规律性不明显。光场较大的三个极大值分别出现在1.8周期、3.7周期、4.8周期处，三个较小的极小值分别出现在1.2周期、2.4周期、4.2周期处。

②光场较大的三个极大值随TM波在一维光子晶体内部的传播深度的增加呈现起伏变化。第一个极大值为3.2，第二个极大值为2.6，第三个极大值为3.0。这就保证了TM波能够顺利穿过该一维光子晶体而出现全反射隧穿现象。

③TM波在一维光子晶体内部的每个分界面处(即周期数为 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 处)光场都是不连续的。这是因为当TM波斜入射一维光子晶体时，TM波的电场不仅有切向分量而且还有法向分量。电场切向分量满足了在界面两侧连续，则会使电场在界面两侧不连续。

图5 全反射隧穿光场随周期数的分布曲线(TE波)Fig.5 Response curves of light field versus cycles number

图6 全反射隧穿光场随周期数的分布曲线(TM波)Fig.6 Response curves of light field versus cycles number

3.2 非隧穿峰处的场分布

由图3知道，当圆频率ω =2ω0时TE波在入射角θ0=0.8 rad处没有出现全反射隧穿峰。固定ω=2ω0和θ0=0.8 rad，由式(8)计算出TE波的光场随周期数的分布曲线，如图7所示。由图7可以看出TE波在一维光子晶体内部其光场分布具有以下特征:

①刚进入一维光子晶体处TE波的光场为最大，其值为1.75。随着传播深度的增加TE波的光场也周期性地出现了2个峰，但2个峰的峰值随传播深度的增加迅速衰减。第一个峰出现在0.8周期处其光场为0.25，第二个峰出现在1.8周期处其光场为0.05。当传播深度大于2.3周期后其光场已经降低为0。因此当TE波以入射角θ0=0.8 rad入射该一维光子晶体时不会出现全反射隧穿现象。

②TE波在一维光子晶体内的每个分界面处(即周期数为 0.5，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5 处)电场也都是连续分布的。

由图4知道，当圆频率ω=2ω0时TM波在入射角θ0=0.7 rad处没有出现全反射隧穿峰。固定ω =2ω0和 θ0=0.7 rad，由式(7)计算出TM波的光场随周期数的分布曲线，如图8所示。由图8可以看出TM波在一维光子晶体内部其电场分布具有以下特征:

①刚进入一维光子晶体处TM波的光场为最大，其值为2.4。随着传播深度的增加TM波的光场也周期性地出现了3个峰，但3峰的峰值随传播深度的增加迅速衰减。第一个峰出现在0.8周期处其光场为0.6，第二个峰出现在1.8周期处其光场为0.25，第三个峰出现在2.8周期处其光场为0.15。当传播深度大于3.3周期后其光场已经降低为0。因此当TM波以入射角θ0=0.7 rad入射该一维光子晶体时不也会出现全反射隧穿现象。

②TM波在一维光子晶体内部的每个分界面处(即周期数为 0.5，1，1.5，2，2.5，3 处)其电场也是不连续的。

图7 光场随周期数的分布曲线(TE波)Fig.7 Response curves of light field versus cycles number

图8 光场随周期数的分布曲线(TM波)Fig.8 Response curves of light field versus cycles number

4 结论

利用特征矩阵法推导出TM波和TE波在一维光子晶体中光场的分布公式。利用这个公式研究了一维光子晶体全反射隧穿现象中TE波和TM波的光场在光子晶体内部的分布特征。在出现全反射隧穿峰处，一维光子晶体内部TE波和TM波的光场不会随传播深度的增加而衰减。在没有出现全反射隧穿峰处，一维光子晶体内TE波和TM波的光场会随深度的增加而迅速衰减为0。这些研究结果从一维光子晶体内部展现了TE波和TM波的光场分布特征，深化了对一维光子晶体全反射隧穿现象形成规律的认识。

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