声子晶体的负折射成像分析

韩建宁，温廷敦，杨 鹏，张 璐，张 驰

(1.中北大学信息与通信工程学院，山西太原030051;2.中北大学理学院，山西太原030051)

近年来，声子晶体的负折射成像研究受到越来越多国内外学者的关注.刘正猷［1］等提出了局域共振型声子晶体具有显著不同的带隙特点，给声子晶体负折射成像提供了新思路.L.S.Chen［2］提出了只有存在部分禁带才有可能在声子晶体板中负折射成像.J.Li［3］等人用高斯光束仿真了声子晶体板的横、纵波模式负折射成像，从理论上探索了模式选择.C.Crognne［4-5］等人研究了钢柱-环氧树脂的二维声子晶体，从实验上证明了固/固式声子晶体也可以用作负折射成像.Z.Liang［6］等人提出一种具有高折射率和接近零质量密度的极端声超常材料，更激起了科学工作者的空前兴趣.声子晶体板的负折射成像具有重要的应用潜力，可以突破传统透镜的衍射极限，对细微结构实现了完美成像，极大地提高了像的分辨率.现在已知的声子晶体平板成像方法中［7］，声子晶体平板实现了较好地负折射成像.本文以有限元为基础，利用有限元软件Comsol完全开放的架构和丰富的后处理功能，以二维局域共振声子晶体平板为模型进行了仿真分析，可省去人工编写代码的繁琐过程［8］，得到直观的声子晶体板的声成像效果，以期更好地认识声子晶体平板实现声波完美成像和突破声学成像中衍射极限的问题.

1 基本原理

二维声子晶体的元胞为轴向(Z方向)厚度较小的平面薄板，外力只作用在平面内.元胞由直径为0.01 m的铅芯外面均匀地包覆0.002 m的橡胶组成散射单元(散射体)，再嵌入在环氧树脂中构成.图1所示为一种二维典型正方晶格声子晶体的一个元胞［9］.

图1 二维局域共振型声子晶体的结构图Fig.1 Structure of two－dimensional local resonance type phononic crystal

材料参数为:水，ρ水=1 000 kg/m3，c水=1.5 ×103m/s;铅芯，ρ铅=11 600 kg/m3，c铅=2 160 m/s;环氧树脂，ρ环氧树脂=1 180 kg/m3，c环氧树脂=2 680 m/s，λ环氧树脂=6 × 105N/m2，μ环氧树脂= 4 × 104N/m2; 橡 胶， ρ橡胶=1 300 kg/m3，c橡胶=300 m/s.其中:ρ，c，λ，μ 分别表示材料的质量密度、速度以及拉美常数.

如图1所示，设铅芯质量为 m铅芯，树脂质量为 m树脂，则有

假设弹性波入射到声子晶体元胞中，由于声子晶体元胞之间没有耦合作用，因此对声子晶体元胞的分析就能代表整体的共振响应特性.设U1和U2分别为环氧树脂和铅芯的振幅，橡胶包覆层和铅芯的交界面为 ε，根据柱坐标的应变位移关系，可知应力 σrr和 σrθ.［10］

根据刘正猷2005年提出的简化解析模型的波动方程及边界条件［11］

因此，铅芯在Z轴的振动方程

将应力 σrr和 σrθ代入式(6)得

从式(7)可求出U2/U1的比值，当入射波的频率为共振频率时，该比值出现极值点，结果如图2所示.

图2 铅芯与环氧树脂位移比的变化曲线Fig.2 Displacement ratio curve of lead and epoxy resin

如图2所示，当入射波频率增加到共振频率时，有效质量出现了反常行为，即表现出了负质量响应.负质量响应意味着波的指数衰减，这与声子晶体禁带一致［12］.由此，可以用有效质量来确定禁带，带隙的起始频率可由共振频率确定，带隙的截止频率则可由有效质量为零的点确定.因此，当入射波频率增加到共振频率时，此时弹性波在禁带内，弹性波在该声子晶体元都不能传播，而是表现为衰逝波的形式.

2 实验模型及分析

根据以上所述，声子晶体元胞在XY平面内按长方形点阵周期排列成平板植入水中.近场点声源所产生的声波通过此平板，在板两界面表面经过两次负折射后，得到了一个完全由衰逝波组成的亚波长近场外部像点［13］，结果如图3所示.

图3(a)所示为点声源通过声子晶体板体的压力场强度分布.其中，板子的厚度d=2λ，点源与板的距离 ds=0.012 5λ，λ代表水中的波长.由图3(c)可知，像点波长为 0.3λ，即为亚波长成像.普通透镜由于像点不含衰逝部分而存在一个半波长的成像分辨率极限.因此，本文设计的声子晶体板分辨率要明显优于普通透镜.因为当入射波频率增加到声子晶体有效共振频率时，此时弹性波在禁带内，弹性波在该声子晶体板不能传播，而是表现为衰逝波的形式，这样点声源通过声子晶体板的传播部分将被反射掉，而且在板的另一侧就不会产生不必要的干扰，从而将点源的亚波长细节更好地传递到板子的另一侧［14］.同时，这里点源与平板的距离明显小于板子的厚度，因此，近场点声源通过声子晶体的声成像过程，实现了传统声透镜难以实现的近场像难题.

图3 声子晶体板的负折射声成像Fig.3 Negative refraction imaging of phononic crystal plate

我们知道，点声源信号入射到声子晶体平板后，声波可通过散射性通道，到一个完全由衰逝波形成的近场亚波长像，但是在像面上实际得到的是一个具有一定面积的衍射斑.由于衍射像有一定的大小，如果两个像点之间的距离太短，就无法分辨出是两个像点.两个衍射像间所能分辨的最小间隔称为声子晶体板的衍射分辨率［15］.下面模拟两个理想点声源经过声子晶体平板后成像的特性，结果如图4所示.

图4 d1=0.2λ时声子晶体板的负折射声成像Fig.4 Negative refraction imaging of phononic crystal plate at d1=0.2λ

图4(a)所示为两个点源通过声子晶体板体的压力场强度分布.其中:板子的厚度为d=0.2λ，两个点源之间的距离 d1=0.2λ.如图4(c)所示，在像面上出现两个分离的亮斑，已完全能够辨别出这是两个不同的像点，说明由于声子晶体平板的存在，原来不分辩的两个点源变得可以分辨.

3 结论

本文利用有限元法研究了声子晶体局域共振型带隙特性的基本特性，以此为基础构建了声子晶体相应的实验模型.根据近场点声源通过声子晶体平板的成像过程，声子晶体板分辨率要明显优于普通透镜，实现了传统声透镜难以实现的近场成像.实验结果表明:由于声子晶体平板的存在，原来不分辩的两个点源变得可以分辨，对细微结构能够实现完美成像，极大地提高了像的分辨率，很好地突破了声学成像中的衍射极限.因此，利用声子晶体负折射成像在医学检测、工业探伤等领域有较大的应用价值.

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