例谈“数形结合”思想在教学中的渗透

徐国明

数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

■

让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

■

学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

■

通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。

（责编 金 铃）endprint

数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

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让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

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（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

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学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

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生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

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生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

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最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

■

通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。

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数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

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让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

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（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

■

学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

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生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

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生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

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最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

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通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。

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