妙用“数形结合”，巧解小学数学问题

罗海明

“数形结合”是数学的重要思想方法之一，而且“数形结合”能培养学生创造性思维、抽象思维和形象思维。著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合千般好，数形分离万事休。”可见数形结合的重要性。

一、注重“形”与“数”之间的结合

在小学数学课堂教学过程中，应注重“数”与“形”之间的结合。通过“形”来刺激学生的感官，使其首先进行仔细观察，进而得出计算关系，而这种计算关系则涉及“数”。根据数学问题中“数”的结构，构造出与之相应的集合图形，并利用几何图形的特征、规律来研究和解决问题，这样可以化抽象为直观，易于显露出问题的内在联系，同时借助几何直观审题，还可以避免一些复杂的数字讨论，在这里我们暂且称之为“以形助数”。 “以形助数”其实是指在数学学习的过程中，经常会有抽象的数学概念和复杂的数量关系，而我们往往可以借助图形使之形象化、直观化，把抽象的数学语言转化为直观的图形，避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。 “以形助数” 中的“形”，或有形或无形。若有形，则可为图表与模型；若无形，则可另行构造或联想。因此“以形助数”的途径大体有三种：一是运用图形；二是构造图形；三是借助于代数式的几何意义。小学阶段常用第一种或第二种，第三种则在高学段中偶尔有出现。那么“以形助数”该如何运用到课堂中去呢？

【例1】计算如图1所示图形的面积。

■

图1

首先让学生审题：（1）从整体上来看，图1为一个什么平面图形？（2）图1中有几个三角形，它们的特征是什么？让学生带着这两个问题进行思考，最终得出如下解题思路。

解题思路分析：要求梯形的面积，那么就需要知道上底、下底以及高这三个条件。由图1可以看出，该梯形的高是6厘米，那么解题的关键就是求出上底以及下底的长度，或者求出它们二者的长度和。在左边的直角三角形中，其中一个内角是45°，由此可知左边这个直角三角形为等腰直角三角形，因此梯形高的左边部分与下底相等。同理可知，右边的小三角形也是一个等腰直角三角形，因此梯形的上底与高的右边部分相等。然后按照等腰直角三角形的含义推出该梯形上下底长度之和为梯形高，即为6厘米，因此根据梯形的面积公式得（上底+下底）×高÷2=（6×6）÷2=18（平方厘米）。

【例2】如图2所示，直角三角形的面积为12平方厘米，计算圆的面积大小。

■

图2

首先提出两个问题：（1）图2中包括哪两种图形？（2）两种图形各自的面积计算的基本公式是什么？

解题思路分析：根据圆的面积计算公式S=πr2，若要计算圆的面积，那么解决此题的关键之处在于先求出r。在图2中，三角形的底以及高都是圆的半径，图中阴影部分三角形面积S=r×r÷2=12（平方厘米），即r2=12÷2=6（平方厘米），所以圆的面积为6π=6×3.14=18.84（平方厘米）。

二、借助图形想象，感受数形结合的魅力

有些数学问题看似无从下手，如果引导学生通过图形想象，由题目的抽象语言表述构想出相应的图形并与图形联系起来思考，常能得到非常新颖、巧妙的解题方法，从而拓宽学生的解题思路。

【例3】有甲、乙、丙、丁四个数，甲数比乙数大7，甲数比丙数、乙数比丁数都大5，甲、乙两数的积比丙、丁两数的积大140，求甲、乙两数的积。

这道题超出小学的知识范畴，直接求是有困难的。因此，引导学生通过想像，将“数”化为“形”：画一个长方形，长为甲，宽为乙，把长方形的面积想像为甲、乙两数之积，阴影面积为丙、丁两数的积，空白面积为甲、乙两数的积比丙、丁两数的积大140。如图3。

■

图3

解：由图可知140-5×5=115，

115=5×23=5×（丙+丁），

所以，丙+丁=23。

根据已知条件，甲数比乙数大7，

所以，丙-丁=7，

丙=（23+7）÷2=15，

丁=15-7=8。

这样甲、乙两数与甲、乙两数的积也就都可以求了。

一个看似关系复杂的数学问题，因为与图形的有效结合，就找到了解决它的一条捷径。抽象思维的结果可以用形象的方式表现，当然，形象思维的结果也需要进行抽象的表达。如在教学长方形的面积计算时，首先让学生操作并观察“每排摆几个 ，与长方形的长有什么关系？”“一共摆几排，与长方形的宽有什么关系？”让学生在操作观察中建立表象，从中领悟关系——长几厘米，每排就可以摆几个；宽几厘米，就可以摆几排。然后学生“在脑子里摆学具”，并思考“长方形的长、宽与它的面积有什么关系”的问题，学生通过空间想象，在头脑中进行表象的补形，结合思考抽象成算式，最后由一组算式抽象概括成“长方形面积的计算公式”。还有后继学习的“几何图形面积、体积的计算”都可以这样形象地表现，抽象地表达。把要学的知识（公式）“创造”出来，运用数与式来细致入微地刻画形的特征，就能让学生充分感受数形结合的无穷魅力。

三、在练习设计时渗透

线段图是理解抽象数量关系的形象化、视觉化的工具。在解决一些数量关系错综复杂的实际问题时，采用数形结合，可以使抽象复杂的数量关系变得简单明了，使抽象的数学问题直观形象。

【例4】国庆节期间，文峰商场搞促销活动，如果购买1000元以上的商品，就可以把超过1000元的部分打八折。张叔叔准备买一个价格为1200元的洗衣机，李阿姨要买一个500元的电饭煲。两个人合着买比分开买可以省多少元？

通过思考，学生得出了两种解题方法。

生1：先求出分开购买所花的钱数，（1200-1000）×80%+1000+500=1660（元）；再求出合着购买所花的钱数，（1200+500-1000）×80%+1000=1560（元）。最后求出合着买比分开买省的钱数，1660-1560=100（元）。endprint

生2：合着买与分开买的区别在于，少花了一个500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”来进行计算。

听完生2的话，很多学生表示不理解。这时，教师让学生在黑板上画图来表示。在学生画出方法二的线段图后，教师又请另一个学生把方法一的线段图画在上面。（如图4）

■

图4

当学生借助线段图对比，很快就发现了两种方法所蕴涵的数量关系，顿时恍然大悟。从图上容易看出，真正省出的钱就是那500元的20%。

四、几点建议

1.多样化呈现，培养学生从图形中获取信息来解决问题的能力

荷兰数学家与数学教育家H.Freudenthal提出数学教学应再现数学知识的发生过程的观点。他强调：“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造。”并指出：“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造，而不是抄袭和仿效。通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得的更容易保持。”如果教师在教学中画图灵活多变，不仅能开拓学生的视野，而且能让学生从中选择自己喜欢的画图方式。除此之外，教师灵活多变的作图方式可以使学生真正理解数与形的意义，在之后遇到相类似却不同的题目时不会只是简单的模仿，而会创造性地运用自己已有的对数形结合的知识解决问题。

2.让学生形成运用数形结合解决问题的习惯

教师在教授简单应用题，整数、分数、小数的意义，加、减、乘、除的意义和计算的过程中，应该时时刻刻让学生感受到“形”在这些学习中的重要性。教师在自己的教学过程中不仅要树立数形结合的教学意识，还要画相应的图形来辅助学生理解新知识，且要求学生也能画出相应的图形。在学习了平面图形、立体图形后，当它们的周长、面积、表面积及体积发生变化时，要求学生先画出相应的图形，用“形”来直观地呈现出它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”的效果。经过这样有目的、有针对性的训练，能让学生形成良好的数形结合的好习惯，进而提高学生的数学思维能力和转化能力，让学生获得运用数形结合解题的好习惯。

综上所述，数形结合是抽象思维与形象思维完美的统一。在学生获取知识和解决数学问题的学习过程中，教师只有时时渗透数形结合思想，引导学生灵活地将抽象思维和形象思维有机结合，才能有效地提高学生学习的效率和数学能力。同时，学生在数形的转换中从“单一”走向“灵活”，才深刻体会数学外在的形式美和内在的思维美，从而感叹数学之美妙。

（责编 金 铃）endprint

生2：合着买与分开买的区别在于，少花了一个500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”来进行计算。

听完生2的话，很多学生表示不理解。这时，教师让学生在黑板上画图来表示。在学生画出方法二的线段图后，教师又请另一个学生把方法一的线段图画在上面。（如图4）

■

图4

当学生借助线段图对比，很快就发现了两种方法所蕴涵的数量关系，顿时恍然大悟。从图上容易看出，真正省出的钱就是那500元的20%。

四、几点建议

1.多样化呈现，培养学生从图形中获取信息来解决问题的能力

荷兰数学家与数学教育家H.Freudenthal提出数学教学应再现数学知识的发生过程的观点。他强调：“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造。”并指出：“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造，而不是抄袭和仿效。通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得的更容易保持。”如果教师在教学中画图灵活多变，不仅能开拓学生的视野，而且能让学生从中选择自己喜欢的画图方式。除此之外，教师灵活多变的作图方式可以使学生真正理解数与形的意义，在之后遇到相类似却不同的题目时不会只是简单的模仿，而会创造性地运用自己已有的对数形结合的知识解决问题。

2.让学生形成运用数形结合解决问题的习惯

教师在教授简单应用题，整数、分数、小数的意义，加、减、乘、除的意义和计算的过程中，应该时时刻刻让学生感受到“形”在这些学习中的重要性。教师在自己的教学过程中不仅要树立数形结合的教学意识，还要画相应的图形来辅助学生理解新知识，且要求学生也能画出相应的图形。在学习了平面图形、立体图形后，当它们的周长、面积、表面积及体积发生变化时，要求学生先画出相应的图形，用“形”来直观地呈现出它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”的效果。经过这样有目的、有针对性的训练，能让学生形成良好的数形结合的好习惯，进而提高学生的数学思维能力和转化能力，让学生获得运用数形结合解题的好习惯。

综上所述，数形结合是抽象思维与形象思维完美的统一。在学生获取知识和解决数学问题的学习过程中，教师只有时时渗透数形结合思想，引导学生灵活地将抽象思维和形象思维有机结合，才能有效地提高学生学习的效率和数学能力。同时，学生在数形的转换中从“单一”走向“灵活”，才深刻体会数学外在的形式美和内在的思维美，从而感叹数学之美妙。

（责编 金 铃）endprint

生2：合着买与分开买的区别在于，少花了一个500元的（1-80%），所以可以直接用“500×（1-80%）=l00（元）”来进行计算。

听完生2的话，很多学生表示不理解。这时，教师让学生在黑板上画图来表示。在学生画出方法二的线段图后，教师又请另一个学生把方法一的线段图画在上面。（如图4）

■

图4

当学生借助线段图对比，很快就发现了两种方法所蕴涵的数量关系，顿时恍然大悟。从图上容易看出，真正省出的钱就是那500元的20%。

四、几点建议

1.多样化呈现，培养学生从图形中获取信息来解决问题的能力

荷兰数学家与数学教育家H.Freudenthal提出数学教学应再现数学知识的发生过程的观点。他强调：“学习数学的唯一正确的方法是实行再创造。”并指出：“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造，而不是抄袭和仿效。通过再创造获得的知识与能力要比以被动方式获得的更容易保持。”如果教师在教学中画图灵活多变，不仅能开拓学生的视野，而且能让学生从中选择自己喜欢的画图方式。除此之外，教师灵活多变的作图方式可以使学生真正理解数与形的意义，在之后遇到相类似却不同的题目时不会只是简单的模仿，而会创造性地运用自己已有的对数形结合的知识解决问题。

2.让学生形成运用数形结合解决问题的习惯

教师在教授简单应用题，整数、分数、小数的意义，加、减、乘、除的意义和计算的过程中，应该时时刻刻让学生感受到“形”在这些学习中的重要性。教师在自己的教学过程中不仅要树立数形结合的教学意识，还要画相应的图形来辅助学生理解新知识，且要求学生也能画出相应的图形。在学习了平面图形、立体图形后，当它们的周长、面积、表面积及体积发生变化时，要求学生先画出相应的图形，用“形”来直观地呈现出它们的变化，从而再用数来表示，达到用“形”来理解“数”，用“数”来表示“形”的效果。经过这样有目的、有针对性的训练，能让学生形成良好的数形结合的好习惯，进而提高学生的数学思维能力和转化能力，让学生获得运用数形结合解题的好习惯。

综上所述，数形结合是抽象思维与形象思维完美的统一。在学生获取知识和解决数学问题的学习过程中，教师只有时时渗透数形结合思想，引导学生灵活地将抽象思维和形象思维有机结合，才能有效地提高学生学习的效率和数学能力。同时，学生在数形的转换中从“单一”走向“灵活”，才深刻体会数学外在的形式美和内在的思维美，从而感叹数学之美妙。

（责编 金 铃）endprint