比率依赖Holling－Ⅲ捕食－食饵系统的多个周期解

朱长青，田德生

（1湖北工业大学工程技术学院，湖北 武汉430068；2湖北工业大学理学院，湖北 武汉430068）

近年来，重合度理论广泛应用于研究生态方程的周期解问题［1］，本文就是考虑如下的一类比率依赖Holling－Ⅲ的食饵－捕食者模型

其中g为连续的ω－周期函数。

首先，引入重合度理论中的延拓定理［6］。

设X，Z是赋范向量空间，L:DomLX→Z为线性映射，N:X→Z为连续映射。称L为指标为零Fredholm算子，如果dim Ker L＝codimImL＜ ’且ImL为Z中的闭集。如果L为指标为零Fredholm算子，又存在连续投影P:X→X和Q:Z→Z满足ImP

其中参数的生物意义参见文献［2］。环境变化对很多生物种群产生有着重要影响［3－4］，特别是周期变化的环境带来的生物种群数量的周期波动，这促使我们考虑系统（1）中的参数都属于周期函数的情况。因此，假设a（t），b（t），c（t），d（t），β（t），m（t）是正的连续ω－周期函数，实际上这种假设与环境的周期变化（如气候的季节因素、食物的供给、生殖习惯等）相一致。本文研究系统（1）的周期解的存在性，与一般生态方程周期解的存在性研究［3－6］比较，在处理这些问题时用了新技巧，得到了新的结果。目前，运用重合度理论研究比率依赖Holling－Ⅲ的捕食－食饵系统周期解的存在性问题似乎尚不多见。

引理 设L是指标为零Fredholm算子，N在Ω是L-紧的，假设

（ⅰ）对任意的λ∈ （0，1），x∈Ω∩domL，都有Lx≠λNx；

（ⅱ）对任意的x∈Ω∩Ker L，都有QNx≠0；

（ⅲ）deg ｛JQN，Ω ∩ Ker L，0｝ ≠0。

则方程Lx＝Nx在DomL∩Ω珚至少存在一个解。

应用重合度理论中的延拓定理讨论系统（1），得到如下结果。

证明 系统（1）过点 （x（0），y（0））的正轨线可写为

可见，当x（0）＞0，y（0）＞0，t≥0时，总有x（t）＞0，y（t）＞0。这表明从（x（0），y（0））出发的正轨线总停 留 在 第 一 象 限。 因 此，＝｛（x，y）x≥0，y≥0｝ 是系统（1）的正不变集。令

于是，系统（1）变为

由变换（2）知，若 （u＊（t），v＊（t））为系统（3）的一个ω－周期解，则

必为系统（1）的正ω－周期解。

故为证定理，只需证明系统（3）存在一个周期解即可，考虑辅助系统

其中λ∈ （0，1），假设（u（t），v（t））是系统（4）的一个ω－周期解。对式（4）两端从0到ω积分得

由式（4）—（6）得

选择ti，si∈ ［0，ω］，i＝1，2，满足

由（5）和（9）得

即

或者

由（7）和（11）得 t∈ ［0，ω］，有

由不等式a2＋b2≥2ab和式（5）、式（9）得

因此

或

由（7）和（13）得，t∈ ［0，ω］，有

即

由第二积分中值定理得

解这个不等式，得

或

由（8）和（15）得

有

类似的，由式（6）、式（8）、式（10）和式（14）得

取

定义如下范数

则X是Banach空间。

令 L:domL X → X，L （u（t），v（t））T＝（u′（t），v′（t））T，其中

再令N:X→X，则

再定义两个投影P和Q，即

2） 修缮后的矿化床在前期（0～15 d） 对进水COD、NH3-N和TN均有较好的去除效果，COD最为明显，去除率＞90%；随着运行时间的延长，去除效果呈下降趋势，推测由于矿化床靠微生物和吸附作用，受外界影响变化大，且易堵塞孔隙，极大影响矿化床的处理效果。

显 然，Ker L ＝ ImP ＝ R2，ImL ＝ Ker Q ＝｛（u（t），v（t））T∈X:u珔＝v珔＝0｝ 是X中的闭集，且dim Ker L ＝dim（）＝2。

因此，L是指标为零的Fredholm算子，又定义L的广义逆如下:

不难验证QN 和Kp（I－Q）N连续，取

由式（12）、式（14）、式（16）和式（17）可知

设

则Ω为X中的有界开集，根据Lebesgue控制收敛定理，可知QN和Kp（I－Q）N是连续的；进一步根据 Arzela-Ascoli 定 理 可 知 QN（Ω）和 Kp（I －Q）N（Ω）是紧集，因此，N 在Ω是L－紧的。

由式（12）、式（14）、式（16）、式（17）和式（18）可知，对 任 意 的 λ ∈ （0，1），（u（t），v（t））T∈ Ω ∩domL，都有L（u（t），v（t））T≠λN （u（t），v（t））T，即已经证明了引理中的条件（ⅰ）是满足的。

下面来证明引理中的条件（ⅱ）和（ⅲ）也是满足的。

设 （u，v）T∈Ω∩Ker L＝Ω∩R2，即（u，v）T∈R2且 ‖ （u，v）T‖ ＝ M 。

首先，证明QN （u，v）T≠0，即引理中的条件（ii）成立。若不然，即

由式（19）的第二式得

这可以推得

即

其中q为常数。代入式（19）的第一式可得

这和ev＝qeu一起表明式（19）有唯一的解组（u，v）T，且

又类似于式（14）、式（16）、式（17）可证u＞A2，v＜B1，v＞B2。因此

相矛盾，所以引理中的条件（ii）也是满足的。

最后，证明引理中条件（iii）也满足，为此，作同伦变换

其 中μ∈ ［0，1］。Φ（u，v，μ）≠0。若Φ（u，v，μ）＝0，则类似的可验证A2＜u＜A1，B2＜v＜B1，且Φ（u，v，μ）＝0有唯一的解

进一步，令

J ＝I:ImL → Ker L，J （u，v）T＝ （u，v）T计算得

至此已经证明了对于有界开集Ω，引理中所要求的条件都是满足的，因此，系统（4）在Ω上至少存在一个ω－周期解，故系统（1）至少存在一个正的ω－周期解，定理得证。

推论 在系统（1）中，假设2aL＞和βL＞dM，则系统（1）至少存在一个正的ω－周期解。

证明由已知2aL＞和βL＞dM，得

［1］ Arditi R，Ginzburg L R.Coupling in predator-preg dynamics:ratio-dependence［J］.Theor.Biol，1989（139）:311-326.

［2］ 马知恩.种群生态学的数学模型与研究［M］.合肥:安徽教育出版社，1996.

［3］ TIAN De-sheng，ZENG Xian-wu.Periodic solutions of a class of predator-prey model exploited with functional responses［J］.J of Math（PRC），2005（25）:480-484.

［4］ Zhang Zhengqiu，Wang Zhichen.Periodic solution of a two-species ratio-dependent predator-prey system with time delay in a two-patch environment［J］.Anziam J，2003，45:233-244.

［5］ Tian Desheng，Zeng Xianwu.Existence of at least two periodic solutions of a ratio-dependent predator-prey model with exploited term［J］.Acta Math.Appl.Sinica，English series，2005，23（03）:489-494.

［6］ Gaines R E，Mawhin J L.Coincidence degree and non-linear differential equations［M］.Berlin:Springer，1977.