巧证平行与垂直

专题策划：巧解立体几何题得满分

编者按：平时在与高三学生通过面对面、电话、网络、信件交流时得知，立体几何解答题在高考试卷中属于中等难度的题目，平时练习的立体几何解答题的难度稍高于高考中的立体几何解答题的难度，因此高考中的立体几何解答题很容易得满分.然而事实上，近两年我们与高考阅卷老师交流后得知，学生在解答立体几何解答题时丢分现象严重.其实，高考立体几何解答题考查的知识点就是有数的几个，掌握了它们，不想得满分都难，关键在于你是否真正掌握了它们.

一、平行问题

1.直线与直线平行

策略：要证明直线a∥直线c，只要先找到直线b，证明a∥b且b∥c即可.

例1 如图1所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.求证：AB∥GH.

难度系数 0.60

分析 由AB∥EF，EF∥GH，可知AB∥GH.

证明 在△APQ中，D，E分别是AQ，AP的中点，则G是△APQ的重心，于是有 =2.同理有 =2.所以 = ，即GH∥EF.

又EF是△PAB的中位线，所以AB∥EF.

综上可知AB∥GH.

小结 三角形的重心分中线为2∶1两部分.三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半.

2.直线与平面平行

策略：平面α外的一条直线a，如果与平面α内的一条直线b平行，那么a∥α.

例2 如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点，AA1=AC=CB= ·AB.证明：BC1∥平面A1DC.

难度系数 0.65

分析 要证明直线与平面平行，只要证明直线与直线平行或者将其转化为证明向量的数量积为零即可.

证明 （证法1）连接AC1交A1C于点F，连接DF.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，由AA1=AC，可知四边形ACC1A1为正方形，故F为AC1的中点.在△ABC1中，由于D为AB的中点，所以DF∥BC1.

由于DF？奂平面A1DC，BC1？埭平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.

（证法2）设平面A1DC的法向量为n=（a，b，c），则有n· =0，n· =0.

由于 =（- ，0，- ）， =（ ， ，0），所以- a- c=0， a+ b=0. 于是b=c=-a.

取n=（1，-1，-1），由于 =（0，- ， ），n· =0，所以n⊥ ，从而有BC1 ∥平面A1DC.

小结 用待定系数法确定平面的一个法向量n，再证明n⊥ ，这是理科考生要掌握的方法.

3.平面与平面平行

策略：要证明平面与平面平行，我们只要先证明其中一个平面内的两条相交直线与另一平面平行即可.

例3 如图3所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.

求证：平面EFG∥平面ABC.

难度系数 0.65

分析 欲证面面平行，先证线面平行，由中点找中点，用三角形中位线的性质解答.

证明 由于AS=AB，AF⊥SB，所以点F为SB的中点.由于E，G分别是SA，SC的中点，所以EF∥AB，EG∥AC.所以EF∥平面ABC，EG∥平面ABC.

又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC.

小结 将证明平面与平面平行转化为证明直线与平面平行，将证明直线与平面平行转化为证明直线与直线平行，这体现了立体几何证明题的“降维思想”.

二、垂直问题

1.直线与直线垂直

策略：由直线与平面垂直，可知直线与该平面内的任意直线垂直.另外，也可用向量的数量积为零来证明.

例4 如图4所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA= .证明：BD⊥PC.

难度系数 0.60

分析 要证明BD⊥PC，可先证明BD⊥平面APC或证明 · =0.

证明 （证法1）连接AC交BD于点O，连接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO=DO.由于PB=PD，所以PO⊥BD.

又PO∩AC=O，所以BD⊥平面APC，即BD⊥PC.

（证法2）连接AC交BD于点O，连接PO.

由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.由于PB=PD，O为BD的中点，所以PO⊥BD.

由于 · = ·（ + ）= · + · =0，所以 ⊥ ，于是有BD⊥PC.

（证法3）连接AC交BD于点O，连接PO.以O为坐标原点，以OB所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，以OP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

由题设易知△PBD和△BCD是边长为2的等边三角形，于是可知B（1，0，0），D（-1，0，0），P（0，0， ），C（0， ，0），从而有 =（-2，0，0）， =（0， ，- ）.

由于 · =-2×0+0× +0×（- ）=0，所以 ⊥ ，即BD⊥PC.

小结 如果直线与平面垂直，那么直线与该平面内的任意直线都垂直.

2.直线与平面垂直

策略：要证明直线与平面垂直，只要先证明直线与该平面内的两条相交直线垂直即可.

例5 如图5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .证明：A1C⊥平面BB1D1D.

难度系数 0.60

分析 找出线段B1D1的中点为E1，先证明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后结论得证.

证明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小结 从图形里的“中点”，再找一个“中点”，作出辅助线，这是经常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面与平面垂直

策略：要证明平面与平面垂直，只要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.

例6 如图6所示，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面PAC⊥平面PBC.

难度系数 0.65

分析 从半圆上的圆周角是直角入手，证明BC⊥平面PAC.

证明 由AB是圆的直径，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小结 本题是教材中的经典题目，也是1995年全国高考考查过的题型.看来，抓教材中的典型题目和往年的高考真题，对提高复习效率是很有益处的.

安振平，陕西省特级教师，中国数学奥林匹克竞赛高级教练员.先后担任全国初等数学研究会常务理事，全国不等式研究会理事，陕西省中学数学教学研究会常务理事.已在50多种刊物上发表文章百余篇，主编高考、中考、竞赛图书20种.阅读他的其他文章，请点击《高中生》·高考网.

（责任编校/周峰）

例5 如图5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .证明：A1C⊥平面BB1D1D.

难度系数 0.60

分析 找出线段B1D1的中点为E1，先证明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后结论得证.

证明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小结 从图形里的“中点”，再找一个“中点”，作出辅助线，这是经常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面与平面垂直

策略：要证明平面与平面垂直，只要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.

例6 如图6所示，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面PAC⊥平面PBC.

难度系数 0.65

分析 从半圆上的圆周角是直角入手，证明BC⊥平面PAC.

证明 由AB是圆的直径，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小结 本题是教材中的经典题目，也是1995年全国高考考查过的题型.看来，抓教材中的典型题目和往年的高考真题，对提高复习效率是很有益处的.

安振平，陕西省特级教师，中国数学奥林匹克竞赛高级教练员.先后担任全国初等数学研究会常务理事，全国不等式研究会理事，陕西省中学数学教学研究会常务理事.已在50多种刊物上发表文章百余篇，主编高考、中考、竞赛图书20种.阅读他的其他文章，请点击《高中生》·高考网.

（责任编校/周峰）

例5 如图5所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB =AA1= .证明：A1C⊥平面BB1D1D.

难度系数 0.60

分析 找出线段B1D1的中点为E1，先证明A1C⊥BD，A1C⊥E1O，然后结论得证.

证明 由于A1O⊥平面ABCD，且BD？奂平面ABCD，所以A1O⊥BD.

在正方形ABCD中，由于AC⊥BD，且A1O∩AC=O，所以BD⊥平面A1AC.又A1C？奂平面A1AC，所以A1C⊥BD.

在正方形ABCD中，AO=1； 在Rt△A1OA中，A1O=1.

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，所以A1C⊥E1O.

又BD？奂平面BB1D1D，E1O？奂平面BB1D1D，且BD∩E1O=O，所以A1C⊥平面BB1D1D.

小结 从图形里的“中点”，再找一个“中点”，作出辅助线，这是经常采用的方法，值得琢磨、反思.

3.平面与平面垂直

策略：要证明平面与平面垂直，只要证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可.

例6 如图6所示，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.求证：平面PAC⊥平面PBC.

难度系数 0.65

分析 从半圆上的圆周角是直角入手，证明BC⊥平面PAC.

证明 由AB是圆的直径，可得AC⊥BC.

由PA⊥平面ABC，BC？奂平面ABC，可得PA⊥BC.

又PA∩AC=A，PA？奂平面PAC，AC？奂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.

由于BC？奂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

小结 本题是教材中的经典题目，也是1995年全国高考考查过的题型.看来，抓教材中的典型题目和往年的高考真题，对提高复习效率是很有益处的.

安振平，陕西省特级教师，中国数学奥林匹克竞赛高级教练员.先后担任全国初等数学研究会常务理事，全国不等式研究会理事，陕西省中学数学教学研究会常务理事.已在50多种刊物上发表文章百余篇，主编高考、中考、竞赛图书20种.阅读他的其他文章，请点击《高中生》·高考网.

（责任编校/周峰）