恒包络预编码算法研究

汪少敏，胡宏林

（中科院上海微系统与信息技术研究所 上海无线通信研究中心，上海 200335）

近年来，随着无线通信领域数据业务的快速增长，对无线频谱资源提出了更高的要求。在现有频谱资源有限的条件下，一些能够提高频谱效率的传输技术正逐渐成为现阶段研究的热点。大规模MIMO技术即是其中之一，该技术由Marzetta在2010年提出[1]，与传统MIMO技术相比，其基站端放置的天线数多达几百甚至上千，并同时服务于多个用户。文献[2]中证明，大规模MIMO系统的信道容量与用户数成正比，而在保证一定信道容量条件下，通过多根天线同时为用户传输信号，也很大程度上提高了功率效率。除此之外，在大规模MIMO条件下，噪声的影响会被消除，而小尺度衰落的影响也被减弱[1]。当天线数目远大于用户数目时，不同用户的信道向量之间趋于正交，这样通过一些简单的线性算法即可获得最优的系统性能。基于大规模MIMO系统的诸多优点，3GPP标准化组织已将大规模MIMO作为B4G时代的关键技术之一写入相关协议，而与之相关的各项关键技术研究也正在深入展开。

在大规模MIMO中，预编码是信号处理的关键技术之一。非线性预编码算法性能较优，但是算法复杂度较高，相对而言，线性预编码算法在大规模多天线条件下具有与非线性算法接近的性能，除此之外，还具有算法复杂度较低的优点。因此，在大规模MIMO中，一般选择线性算法来进行预编码。而对于上述传统的预编码算法，无论是非线性还是线性，其功率控制都是基于APC准则，即对所有天线上的发送总功率进行控制。

在APC准则下，各个天线上发送的信号随用户信号和信道矩阵而变化，不具有恒包络的特性。若对发送信号功率提出更为严格的限制，那么就可以得到GBC准则，恒包络预编码算法即根据GBC准则而设计。该算法由Mohammed等人在2012年提出，其主要思想是，在发送端通过预编码，使得最终各个天线上的发送信号具有恒包络的特性，不随信道矩阵的变化而变化。之所以在大规模MIMO系统中提出恒包络预编码算法，有两方面的原因。一方面是因为，当发送信号为恒包络时，发送端可以使用具有较高功率效率的非线性功放器件。在恒包络预编码算法中，每个天线上发送的信号功率是恒定的，这就大大降低了发送信号的峰均比，从而可以使用效率较高的非线性功放器件。另一方面，在大规模MIMO系统中，由于发送端天线数N远大于接受端用户数M，这样就为信道提供了巨大的自由度，从而为恒包络预编码算法的实现提供了可能。恒包络预编码算法对发送信号的严格限制，使其与传统的线性算法如ZF等相比，在维持相同的信道容量的条件下，前者所需的功率要多1～2 dB。但是，通过使用非线性功率器件，恒包算法的功放效率比ZF等算法要高6～8 dB。因此，总的功率效率而言，恒包络预编码算法依然比传统线性预编码算法高5 dB左右[6]。

1 恒包络预编码算法介绍

1.1 系统模型

在大规模MIMO系统中，假定发送天线数为N，接收端用户数为M，N＞＞M。信道矩阵为HM×N，其中hk,i是 的第k行第i列元素。系统框图如下。

图1 大规模多天线系统Fig. 1 Massive MIMO System

假定M个用户的发送信号为u=(u1,u2,…,um)。采用恒包络预编码算法，各个天线上的发送信号具有恒定的功率，即满足

接收端第k个用户上接收到的信号为：

其中nk为用户k的噪声干扰。进一步，将yk表示为接收信号的形式，则yk为：

在上式中，第一项是用户期望接收的信号，第二项是多用户干扰项，第三项是噪声，服从N(0,σ2)的分布。

1.2 恒包络预编码算法

文献[5]中证明，对于恒包络发送信号，在信道为独立同分布瑞利信道的条件下，当发送天线数N逐渐增加时，多用户干扰可以被减少到任意小的程度。根据这一前提，在已知用户信号u和信道矩阵H的条件下，可采用最小化MUI的方式来求得最终的恒包络发送信号。在式(5)中，即最小化|Sk|2，从而使得最终用户的接收信号等于其期望接收信号uk。由此提出恒包络预编码算法，即在发送端对所有M个用户接收信号中的MUI项进行累加，然后对累加和进行最小化，从而得到恒包络发送信号。具体算法过程如下：

其中，代价函数为所有M个用户的MUI之和，表示为：

2 非完美CSI对恒包络算法性能的影响

关于恒包络预编码的算法性能，现有的文献都是在完美CSI条件下对其进行分析。然而，一般情况下，基站端获得的信道状态信息由上行信道估计获得，这样就会存在一定的信道估计误差，对预编码算法的性能产生影响。对于线性预编码算法如ZF等，该影响通常不仅与误差有关，同时也与预编码向量有关[2]，因此不能直接通过减小误差来消除该影响。但是对于恒包络预编码算法而言，它直接对发送信号向量进行求解，这一特殊性使得其在非完美CSI条件下的算法性能不同于传统的线性预编码算法，需要重新进行分析。

2.1 完美CSI条件下恒包络预编码算法性能

在完美CSI条件下，恒包络预编码算法的信道容量由信干噪比SINR决定，对于第k个用户，其信道容量表达式如下[5]：

其中(E1,E2,…,EM)T表示用户信号(u1,u2,…,uM)T的能量向量。

2.2 非完美信道状态信息对预编码算法性能的影响

假定系统工作在TDD方式下，在基站端利用导频对上行信道进行估计，得到上行信道状态信息，然后根据信道互易性原理，得到下行信道状态信息为。这里为通过MMSE估计所得到的估计值，且满足=H-ε，其中H为实际的下行信道矩阵，ε为估计值与实际值之间的误差值。根据信道估计值，由式(6)中的恒包络预编码算法，可求得各天线上发送信号的相位矢量为。通过实际的信道 H传输以后，在用户k上接收到的信号为：

在此条件下，信道容量公式为：

其中:

(13)式分母中，第一项为多用户干扰MUI，第二项为由于信道估计误差带来的影响，即误差项，第三项为噪声项。下面针对具体的信道估计算法来分析误差项对信道容量的影响。

2.3 非完美CSI条件下的恒包络预编码的系统容量

与LS算法相比，MMSE算法有着更小的估计均方误差。因此，下面以MMSE算法为例，分析信道估计误差对于恒包络预编码算法性能的影响。

而又因为：

所以(14)式可以进一步化简为：

将式(16)代入信道容量表达式(14)中得到：

在式(17)中，可以看到，与式(13)相比，估计误差使得信道容量表达式的分母中多了||εk||2这一项，从而造成了信道容量有一定的降低。但是，由估计误差带来的影响项||εk||2只与估计误差有关，而与恒包络发送信号无关，这是与传统的线性预编码算法不同的地方。因此可以通过选择合适的信道估计算法和导频信号，从而最小化估计误差对系统性能的影响。

2.4 基于最小化估计均方误差的估计算法和导频设计

在2.3节中，以MMSE估计算法为例，得到了在非完美CSI条件下信道容量的表达式，显然，要减小估计误差带来的影响，就必须选择合适的导频，以减小估计均方误差。在基站天线数为N，用户数为M的大规模MIMO系统中，假定上行导频信号为P，P为M×T的导频矩阵，T为导频信号个数，且有T≥M。导频信号满足如下的功率约束：

其中 PU表示上行导频信号发送功率。对于MMSE估计而言，在满足(18)式功率约束的条件下，基于最小化均方误差的导频信号有如下形式[4]：

(19)式中I为M×M的单位矩阵。从(19)式中可以看到，任意满足列向量正交且满足功率约束的矩阵都是最优的。而若进一步对各导频信号的幅度进行限制，使得导频信号也具有恒包络的形式，则满足条件的导频为如下形式的离散傅立叶变换矩阵：

3 算法仿真

从上节的结论可知，采用(20)式中的导频信号进行信道估计可以得到足够小的均方误差，因此在下面的仿真中将采用该导频进行分析。以天线数N=128，用户数M=12为例，并假定各用户发送信号均为16-QAM信号，且满足Ek=1,k=1,2,…,M。分析在完美CSI和非完美CSI条件下恒包络算法的性能，其中在非完美CSI条件下，信道估计采用MMSE算法，导频信号取为(20)式中的DFT变换矩阵。图2表示了平均用户速率随信噪比变化的情况。

图2 恒包络预编码算法系统容量随信噪比变化曲线Fig. 2 Curve of capacity changed with SNR

仿真结果可以看到，与完美CSI条件下相比，非完美CSI条件下的信道容量有一定的差异，但是该差异是比较小的。且当导频信号功率增加时，估计误差随之减少，从而进一步减少了与完美CSI条件下的性能差异。上述分析表明，通过选择合适的估计算法以及导频信号，能够使得非完美CSI条件下的系统性能接近于完美CSI条件下的系统性能。

4 结束语

文中介绍了应用于大规模MIMO系统中的恒包络预编码算法，并给出了该算法的求解方法。然后分析了在非完美信道状态信息条件下，信道估计误差给恒包络预编码算法造成的影响，通过公式推导得到，该影响至于估计误差本身有关，而与恒包络预编码向量无关，从而可以通过优化估计算法来减少估计误差带来的影响，最后通过仿真进一步论证了上述分析结果。

[1] Marzetta T L.Noncooperative cellular wireless with unlimited numbers of base station antennas[J].IEEE Transactions on,Wireless Communications,2010,9(11):3590-3600.

[2] Ngo H,Larsson E,Marzetta T. Energy and spectral efficiency of very large multiuser MIMO systems[J].2011.

[3] Rusek F,Persson D,Lau B K,et al.Scaling up MIMO:Opportunities and challenges with very largearrays[J].Signal Processing Magazine,IEEE,2013,30(1):40-60.

[4] Biguesh M,Gershman A B.Training-based MIMO channel estimation:a study of estimator tradeoffs and optimal training signals[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2006,54(3):884-893.

[5] Mohammed S,Larsson E,Per-antenna constant envelope precoding for large multi-user MIMO systems[J].2012.

[6] Mohammed S K,Larsson E G.Constant-Envelope Multi-User Precoding for Frequency-Selective Massive MIMO Systems[J].arXivpreprint arXiv:1305.1525,2013.

[7] Mollén C.Low-PAR Precoding for Very-Large Multi-User MIMO Systems[J].2013.

[8] Mohammed S,Larsson E. Single-user beamforming in large-scale MISO systems with per-antenna constant-envelope constraints:The doughnut channel[J].2012.

[9] Yang H, Marzetta T L.Performance of conjugate and zero-forcing beamforming in large-scale antenna systems[J].IEEE Journal on Selected Areas in Communications,2013,31(2):172-179.