相容滤子完备偏序集上投射算子的几个性质

朱润秋，卢 涛

(淮北师范大学 数学科学学院,安徽 淮北 235000)

0 引言

连续格理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体，是拓扑学和理论计算机科学研究者共同关注的一个重要领域[1-3]．随着研究的深入，人们将连续格中关键的双小于关系移植到偏序集上，产生了连续偏序集的概念，得到了丰富的成果[4-8]．

近年来，徐罗山教授针对实数集、自然数集的序结构特点(不是定向完备的)在文献[9-11]中提出了相容定向集、相容定向完备偏序集的概念，将实数集和自然数集引入到研究对象中来，推广了Domain理论的研究范围，得到了许多好的结果．本文对偶地引入了相容滤子集、相容滤子完备偏序集的概念，并研究了偏序集及相容滤子完备偏序集上投射算子的几个性质，得到的相应结果丰富了偏序集上的算子理论．

1 预备知识

先介绍一些预备知识．

定义1[4]设L是一个偏序集，L的非空子集A称为滤子的，若对任意的a,b∈A,存在c∈A，使得c≤a,c≤b．若L中的每一个滤子集都有下确界，则称L是滤子完备偏序集．

定义2设L是一个偏序集，Ø≠F⊆L，若F是滤子且存在d∈L使得F⊆↑d，则称F为L的相容滤子集．

定义3设L是一个偏序集，若对L中每一个相容滤子集F，F在L中的下确界infF存在，则称L是相容滤子完备偏序集．

定义4[4]设L是一个偏序集，

(1) 若p:L→L是单调的，幂等的(即p=p∘p)，则p称为投射算子(简称投射)．

(2) 若c是L上的投射算子且lL≤c，则称c为闭包算子．

(3) 若k是L上的投射算子且k≤lL，则称k为核算子．

注：以下我们记p(L)是L在p下的像(关于L的诱导序)，注意到p:L→L是幂等的，则对任意的x∈p(L)，我们有p(x)=x．

2 主要结果

命题1设L是相容滤子完备偏序集，p:L→L是投射算子，则

(2) 若p是核算子，则p(x)=max{y∈p(L)|y≤x},∀x∈L；

(3) 若p是Scott连续的，则p(L)为相容滤子完备偏序集．

(2) 若p是核算子，则∀x∈L，p(x)≤x,p(x)∈p(L)，即

p(x)∈{y∈p(L)|y≤x}

又∀y∈{y∈p(L)|y≤x}，有y=p(y)≤p(x)，故

p(x)=max{y∈p(L)|y≤x},∀x∈L．

(3) 设F⊆p(L)是相容滤子集，由L是相容滤子完备偏序集,故下确界infF在L中存在，又p：L→L是Scott连续的投射算子，则p(infF)=infp(F)=infF，即infF∈p(L),故p(L)为相容滤子完备偏序集．

引理1设g:L→M是完备格间的保交映射，则g(L)在M中关于交封闭．

证明：令Y⊆g(L)且X=g-1(Y)，则g(X)=Y．由g保交知

infY=infg(X)=g(infX)

因此infY∈g(L)，即g(L)在M中关于交封闭．

注：上述结论对于g保滤子交时不成立，即若g:L→M是完备格间的保滤子交映射，则g(L)在M中不一定关于滤子交封闭．但当映射为投射时，我们有下面的结论成立．

命题2设P：L→L是偏序集L上的投射算子，p(L)是L在p下的像，若X⊆p(L)且infLX存在，则infp(L)X存在且infp(L)X=p(infLX)．

证明：设X⊆p(L)且infLX存在，∀x∈X,由infLX≤x以及p是单调的，有p(infLX)≤p(x)，又p是幂等的，则p(infLX)≤p(x)=x，从而p(infLX)是X在p(L)中的一个下界．令a∈p(L)是X在p(L)中的另一个下界，则a≤infLX，因此由p是单调的、幂等的知a=p(a)≤p(infLX)，故p(infLX)是X在p(L)中的最小的下界，即infp(L)X存在且infp(L)X=p(infLX)．

命题3设p:L→L是偏序集L上的投射算子，p(L)是L在p下的像，若p保滤子交，则p(L)在L中对滤子交封闭，即对每一个滤子集F⊆p(L)且infLF存在，则infp(L)F存在且infp(L)F=infLF．

证明：设F⊆p(L)是滤子集且infLF存在，则由命题1知，infp(L)F存在且infp(L)F=p(infLF),若p保滤子交，则p(infLF)=infLp(F)，又p是幂等的，则有infLp(F)=infLF，从而infp(L)F=infLF．

命题4设p:L→L是偏序集L上的投射算子，若p保相容滤子交，则p(L)在L中对相容滤子交封闭，即对每一个相容滤子集F⊆p(L)且infLF存在，则infp(L)F存在且infp(L)F=infLF．

证明：设F⊆p(L)是相容滤子集且infLF存在，则由命题1知infp(L)F=p(infLF),若p保相容滤子交，则p(infLF)=infLp(F)，又p是幂等的，则有infLp(F)=infLF，从而infp(L)F=infLF．

注：若L为相容滤子完备偏序集，p:L→L是保相容滤子交的投射算子，则命题3，命题4可简述为：infp(L)F=p(infLF)=infLF，其中F⊆p(L)为相容滤子集．

[1]Gierz G. A Compendium of Continuous Lattices [M]. Berlin: Springer-Verlag,1980.

[2]Engelking R.General topology[M]. Warszawa:Polish Sic Publ,1977.

[3]郑崇友,樊 磊,崔宏斌.Frame与连续格[M]. 北京:首都师范大出版社,2000.

[4]Gierz G, Hofmann K H, Keimel K, etal. Continuous Lattice and Domains [M].Cambridge: Cambridge University Press, 2003.

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[10]徐罗山. 相容连续偏序集及其定向完备化[J]. 扬州大学学报(自然科学版), 2000,3(1): 1～10.

[11]徐罗山. 相容L-domain及其相关范畴性质[J]. 扬州大学学报(自然科学版), 2002,5(1): 1～7.