勾股定理带来的小幸福

赖以威

生活中你会拥有许多小幸福，比如，在拐角突然撞到校园男神或女神，丢了饭卡却有人打电话来要还你，还有一种小幸福，是奇妙的勾股定理测算带来的。

“直角三角形，夹着直角的两边平方相加，等于斜边平方。”这个古代文明中重要的几项数学发现之一，考卷上常见的概念之一，与我们的现实生活也有着重要关系。我们就来看看这两个故事——

你看多远，我都知道

在台北某栋大楼的瞭望台上，两个少男少女靠在窗边。女孩突然说：“风景好漂亮啊！从这里能看得好远，假如没有被周围的山挡住，一直往外望，能望到哪里去呢？”

男孩灵机一动，往玻璃窗伸出手指，对窗呵了口气，在凝聚出来的雾上画了个半圆。圆上画两个小人。以小人为起点，他画了一条与大圆相切的切线。

“这是地球，上面的两个人，是站在瞭望台上的我们。地球半径约为6400千米，瞭望台高度为0.25千米，利用勾股定理，可求出从我们所在位置画出去的切线长度x，即（0.25+6400） 2=64002+x2。”

男孩利落地列出一元二次方程式，然后解释道，

“（0.25+6400）2=64002+x2展开，左边是0.252+2×0.25×6400+64002，第一项跟后面两项比太小，可以忽略，第三项地球半径平方又可以跟右边第一项消掉。因此，可得x近似于，大约是56.6千米。换句话说，站在瞭望台的我们能看到56.6千米以外的景色。大概是宜兰、还有东北角外海好几千米的地方。”

女孩露出崇拜的眼神看着男孩，问他怎么那么聪明，要他教她数学。男孩腼腆地笑笑，答应了她的请求。

甜甜圈有多大？

喜欢甜甜圈的小A常常苦恼该买哪家的甜甜圈。因为甜甜圈的中间开了一个洞，体积大小不仅跟外面的圆有关，跟中空的内圆也有关系。看起来比较小的，可以推托说：

“我们的内圆小，是属于比较札实的类型。”

如果中空的圆很大，也可以解释成：

“我们的甜甜圈大，内圆难免也大一点嘛，数学不是有教过吗，等比例放大，分量绝对有保证。”

该怎么简单测量甜甜圈体积，揭穿甜甜圈面包师傅的诡计，困扰了小A许久。直到某一天他从勾股定理中意外找到了答案。

假设甜甜圈的水平剖面完全一样，体积等于任意水平剖面的面积乘上高度。高度很好算，重点在于水平剖面，也就是由上往下看的环形面积该如何计算。最直接的方法是把内圆与外圆的半径都量出来，再用圆面积=π×（半径）2来计算。

其中R是外圆的半径，r是内圆的半径，我们简称为外径与内径。

与其测量内径与外径，再算两者的平方相减，不如使用勾股定理更简单地算出甜甜圈的体积：从甜甜圈内圈的任意一点为基准，沿着内圈切线方向撕下一片。以撕下那片直边的长度为圆直径所算出的圆面积，就是甜甜圈的水平剖面面积。

根据定义，切线与内圆半径垂直，而切线与外圆相接的两个接点，连回圆心的长度，刚好是外圆的半径。也就是说，内径、外径，以及这条撕下的直线的一半，恰好形成一个三角形，外径是斜边。利用勾股定理来计算撕下直线的一半长度，恰好是。以此值为半径，套入圆公式，可以得到对应的圆面积是π（R2-r2），跟之前直接量内外圆的半径有着一样的结果。有了勾股定理的帮忙，小A能迅速算出附近几家甜品店的甜甜圈大小，保证能买到最划算的甜甜圈。

这两个例子虽然很简单，但却有着相当重要的象征意义，计算过程在现实生活中就相当于“成本”，许多公司都以降低成本为第一考量。事实上，只要善加利用数学，很多时候便能轻松地省下大量成本。勾股定理之所以重要且广为流传，因为它在测量上扮演了相当重要的角色。透过勾股定理，我们可以计算出一些原本无法得知的数据，或者，可以简化一些复杂的测量。在古代，城池大小、水井深度的测量，都有勾股定理的踪影。就算在现代日常生活中，勾股定理依然有许多测量的应用。