基于RLS 算法的高频响应电流提取策略研究

王 辉，王才东，张段芹

(郑州轻工业学院，河南郑州450002)

0 引 言

为了实现对永磁直线同步电动机磁场定向控制，动子位置检测是实现对永磁直线电机伺服控制的关键环节。由于机械式传感器存在缺陷，给运动控制系统带来了诸多不利影响［1］。反电势法是当前应用较多的一种无传感器法，这种方法主要检测定子绕组的反电势来检测转子的位置，但在低速或零速时，反电势较小，检测误差较大，甚至无法检测到反电势，因此，这种方法可应用的速度范围较小［2］。高频信号注入法利用电感系数与转子位置的关系进行转子位置的检测，弥补了传统无位置传感器检测法的缺陷。

由于自适应滤波器具有自我“跟踪”和“调节”的能力，具有更强的信号处理能力［3］。因此，近年来自适应滤波理论在诸如通信、控制、雷达、地震、生物医学工程等领域获得了广泛的应用［4］。由于递归最小二乘(RLS)算法比最小均方(LMS)算法具有更快的响应速度和更强的跟踪能力，因此，RLS算法更多地应用于时变信号的滤波［5］。

本文将基于RLS 的自适应滤波器与旋转高频电压信号注入法相结合，并应用于永磁直线同步电动机伺服控制系统中，以提高动子位置的检测精度。

1 高频电压注入法数学模型

旋转高频电压信号注入法的基本原理就是在静止的三相参考坐标系下，利用定子电感和转子位置间的关系，通过在永磁直线同步电动机的动子端注入小幅值且连续的三相平衡的高频电压，使其和基波进行调制，在电机的定子绕组端将会产生一个对应的高频响应电流信号，这个高频电流信号中包含有电机动子位置的信息，将该电流信号解调后送入观测器，可估算出动子位置［6－7］。

根据文献［8］，永磁直线同步电动机的旋转高频电压信号注入法数学模型可以表示:

对式(1)积分，可得出相应的高频电流数学模型:

从式(2)中可以看出，对于具有凸极特性的永磁直线同步电动机来说，注入的高频电压信号对应的高频响应电流信号由两部分组成，即包含有动子位置信息的部分和不包含动子位置信息的部分。包含动子位置信息部分在两相静止坐标系下的轨迹是一个顺时针方向旋转的圆形轨迹，而不包含动子位置信息的部分在两相静止坐标系下的轨迹是一个逆时针方向旋转的圆形轨迹，为便于问题的分析，可以把这两部分分别称为负序分量和正序分量。利用特定的信号处理方法进行解调处理后，可以从负序分量中获取转子的位置信息。为分析问题的方便，把正序分量和负序分量的表达式分别列写如下。

正序分量表达式:

负序分量表达式:

进一步分析式(3)和式(4)可以看出，由于两个圆形轨迹的半径及旋转方向不同，合成的轨迹，即高频响应电流的轨迹是一个逆时针旋转的椭圆，椭圆的长轴与α 轴正向的夹角为动子位置角。图1 是电机转子位置分别在0°、15°、30°、45°、75°和90°时理想高频响应电流信号的合成轨迹。从图中可以看出，在不同的位置，其理想的合成轨迹都是椭圆形。图2 则是负序高频响应电流轨迹的仿真曲线，从图中可以看出，其轨迹是理想圆形。

图1 理想的高频响应电流轨迹

图2 理想的负序高频响应电流轨迹

在实际应用中，电机在额定速度下运行时定子电流中不仅包含有驱动电机运行的基波电流及其谐波成分，而且还有高频信号响应的负序和正序电流及PWM 开关谐波电流。永磁直线同步电动机在额定运行时的定子电流频谱放大后如图3 所示。

图3 定子电流频谱放大图

从图3 的定子电流频谱图可以看出，响应电流中不仅包含有基波电流、高频响应电流和PWM 开关谐波电流，而且在高频响应电流附近还混杂有其他的谐波成分。对于基波电流及其低次谐波电流，其频率远低于高频载波响应电流，而PWM 开关谐波电流和励磁电流的高次谐波成分的频率又远高于高频响应电流的电流频率，如果外干扰较小情况下，理论上可能通过一个带通滤波器实现。在实际应用中，由于动子可以从零速到额定速度运行，因此其频率的变化范围也较大，特别是高频响应电流附近的谐波成分的频率与高频电流的频率非常接近，加之外干扰的存在，用普通的滤波器很难实现高精度的滤波，为达到理想的滤波效果，本文设计了一种自适应滤波器，用来提取高频响应电流信号。

2 递归最小二乘滤波算法

基于最小二乘算法的自适应滤波器以某种准则为依据，根据信号的变化自动调整其参数，从而使与滤波器输出相关的目标性能函数的值最小。递归最小二乘算法(RLS)是改进的最小二乘算法，在原有估算结果的基础上，利用新引入数据进行修正，是一种通过迭代的方式寻求每一步最优的算法，大大减小了传统最小二乘算法的计算量，并加快了自适应滤波器的收敛速度，提高了稳定性［9－10］。

如果滤波器输入信号为x(i)，滤波器输出信号为y(i)，则:

式中:wj(i)为抽头权值;M 为滤波器阶数。

相对期望输出的误差:

式中:d(i)为期望的输出信号。

在最小二乘法中，抽头权值wj(i)的选取，应当使输出误差e(i)的平方和构成的代价函数J 最小。

于是，J 可定义:

式中:λ 为不大于1 的常数。

式(7)中的λn－i作为指数加权因子，i 越小，说明过去的时刻也久，其对代价函数的影响越小，反之，则越大。

为求得J 最小时的自适应滤波器的抽头权值，对式(7)进行求导，并令其导数为零，于是可得:

其中:

式中:X(i)=［x(i)，x(i－1)，…，x(i－M+1)］T;W(n)=［w1(n)，w2(n)，…，wM(n)］T。

当式(8)成立时，求得的W(n)即为所求的最优抽头权值。这就是最小二乘的批处理方法，由于每个数据都参与重复计算，因此这种方法的运算量大，不适合计算机实时处理，而采用递归的最小二乘算法)可以减少运算量。根据文献［11］，可得基于递归最小二乘算法自

适应滤波器的数学模型。

g(n)的更新公式:

其中:

3 结果分析

为验证基于RLS 算法的自适应滤波器从电机定子绕组中提取高频响应电流的优越性，本文分别对巴特沃斯带通滤波器和基于RLS 算法的自适应滤波器进行了仿真研究。在15 r/min、1 200 r/min和3 000 r/min 三种速度下，用两种滤波器提取高频响应电流，并对其的频谱进行了分析，分析结果如图4 ～图6 所示。

图4 提取的高频响应电流频谱(n=15 r/min)

图5 提取的高频响应电流频谱(n=1 200 r/min)

图6 提取的高频响应电流频谱(n=3 000 r/min)

从上面的频谱图中可以看出，当运行速度较低时，高频响应电流的正序分量和负序分量的频率非常接近，速度越高，两者的频率差值也越大;但是无论是在高速还是在低速，利用普通的巴特沃斯带通滤波器提取的高频响应电流中，包含较多的杂波成分;而利用基于RLS 算法的自适应滤波器提取的高频响应电流，其杂波较小，这有利于将负序高频响应电流分量从高频响应电流中分离出来，从而提高了电动机动子位置的检测精度。

4 结 语

本文针对普通带通滤波器提取的高频响应电流中杂波成分较多的缺陷，提出将基于递归最小二乘算法的自适应滤波器引入永磁直线同步电动机无传感器伺服控制系统中，用于提取包含有动子位置信息的高频响应电流。频谱分析结果表明，新滤波器提取的信号与普通巴特沃斯带通滤波器提取的信号相比较，其提取的信号中包含的杂波成分较小，因此其滤波器的性能更好，有利于提高动子位置的检测精度。

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