完全分配格上矩阵的若干研究

祝祯祯，卢 涛

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

完全分配格上矩阵的若干研究

祝祯祯，卢 涛

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

在完全分配格上定义了格矩阵，以及对称矩阵、幂等矩阵、逆矩阵等，通过给出了格矩阵的若干运算性质，讨论了有关对称矩阵、幂等矩阵的一些性质和定理，并给出证明．

格矩阵；对称矩阵；幂等矩阵

0 引言及预备知识

矩阵是现代数学中非常重要的概念，人们不仅关心数环与数域上的矩阵，还关心格上的矩阵．本文利用在完全分配格L上定义的矩阵各种运算，给出了格上矩阵的一些性质．

设L(∧，∨)是一个有最小元0与最大元1的完全分配格，用Mn(L)(n∈Z+)表示L上所有n×n矩阵的集合，用aij表示格矩阵A的第i行第j列元素，aij∈L，

以下矩阵均属于Mn(L)．

1 基本概念

定义2若L是一个偏序集，A，B∈Mn(L),当aij≤bij，aij,bij∈L，(i,k=1,2…n)时，称A≤B．

定义3对于任意的A，B，E∈Mn(L),

2)若A=(aij)，则称AT=(aji),(i，j=1,2…n)为A的转置．

3)A∩AT=(aijaji)，(i,j=1,2…n)

4)A+B=(aij)+(bij)=(aij∨bij)，(i，j=1,2…n)．

定义4ⅰ)若AT=A，则称A为对称矩阵；

ⅱ)若A2=A，则称A为幂等矩阵；

ⅲ)若AB=E，则称B为A的逆矩阵，记为A-1；

2 主要结果

性质1(1)E2=E； (2)EA=AE； (3)(AB)C=A(BC);

(4)(AB)T=BTAT； (5)(A+B)T=AT+BT； (6)A(B+C)=AB+AC；

(7)(B+C)A=BA+CA; (8)A+A=A； (9)Ak+1=AAk；

(10)(AT)-1=(A-1)T；

证明略

事实上，由以上性质可验证(Mn(L)，·)关于加法运算“∨”与乘法运算“∧”构成一个半群(含单位元)．

定理1设B∈Mn(L)，则B∩BT,B+BT是对称矩阵；若B是对称矩阵，则B∩BT=B，B+BT=B．

定理2设B∈Mn(L)，若B是对称矩阵，则Bk(k∈Z+)是对称矩阵．

证明由性质1(4)，(Bk)T=(BB…B)T=BT(Bk-1)T=…=(BT)k，又B是对称矩阵，所以(Bk)T=Bk．

定理3设B∈Mn(L)，则BBT，BTB是对称矩阵．

定理4设B∈Mn(L)，则(B∩BT)k，(B∪BT)k，(B+BT)k，(BBT)k，(BTB)k，(k=1,2…n)是对称矩阵．

证明由定理1,2,3易证．

定理5设B∈Mn(L)，B是对称矩阵，若B可逆，则B-1，(B-1)k是对称矩阵．

证明因为B可逆，BT=B，所以(BT)-1=(B-1)T，故B-1=(B-1)T,即B-1是对称矩阵，所以(B-1)k也是对称矩阵．

定理6设B∈Mn(L)，B是对称矩阵，则对任意的A∈Mn(L)，ATBA是对称矩阵，从而(ATBA)k是对称矩阵．

定理7设B∈Mn(L)，若BBT=E，则B是对称矩阵当且仅当B2=E．

证明必要性：显然．

充分性：B=BE=B(BBT)=B2BT=EBT=BT,所以B是对称矩阵．

定理8设A，B∈Mn(L)，且A，B是对称矩阵，则AB是对称矩阵当且仅当AB=BA．

证明必要性：因为A，B是对称矩阵，所以(AB)T=BTAT=BA，又AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB，故AB=BA．

充分性：因为A，B是对称矩阵，所以AB=ATBT=(BA)T，又AB=BA，故AB=(AB)T,得证．

推论1设A，B∈Mn(L)，且A，B是对称矩阵，则ABT=BTA当且仅当AB=BA．

定理9设B∈Mn(L)，若B为幂等矩阵，则Bk=B(k∈Z+)．

证明因为B为幂等矩阵，所以B2=B，故BB2=BB，即B3=B2=B，假设对n=k-1时，Bk-1=B成立，则n=k时，则Bk=Bk-1B=BB=B2=B，由归纳法得证．

定理10设B为幂等矩阵，且B可逆，则B为单位矩阵．

证明由B2=B，所以B-1B2=B-1B=E，又B-1B2=B，故B=E．

定理11设A，B∈Mn(L)，AB=A且BA=B，则A2=A，B2=B．

证明因为AB=A，所以(AB)A=AA=A2，又A(BA)=AB=A，故由A(BA)=(AB)A得A2=A，同理可证B2=B．

定理12设B∈Mn(L)，若B为幂等矩阵，则BT也是幂等矩阵．

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SeveralStudiesofMatricesOverCompletelyDistributiveLattice

ZHUZhen-zhen，LUTao

(School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,China)

The definitions of lattice matrices,symmetric matrix idempotent matrix,inverse matrix over completely distributive lattices are given.Through giving some operational properties of lattice matrices,some properties and theorem of idempotent matrix and the symmetric matrix are discussed,and proved.

lattice matrix;symmetric matrix;idempotent matrix

梁怀学)

2014-05-28

安徽省自然科学研究项目(KJ2012Z358)；国家自然科学基金项目(11171156)

祝祯祯(1990-)，女，安徽省淮北市人，现为淮北师范大学数学科学学院硕士研究生.研究方向：格上拓扑学．

*通讯作者：卢 涛 (1974-)，男，山东省诸城市人，现为淮北师范大学数学科学学院副教授，博士.研究方向：拓扑学，范畴论．

O151.21

A

1674-3873-(2014)03-0085-02