基于函数变换的GM(1,1)模型及其应用
2014-01-06杨跃东冯倩妮
杨跃东，冯倩妮
(1.上海师范大学 数理学院，上海 200234；2.华东理工大学 理学院，上海 200237)
基于函数变换的GM(1,1)模型及其应用
杨跃东1*，冯倩妮2
(1.上海师范大学 数理学院，上海 200234；2.华东理工大学 理学院，上海 200237)
基于函数变换理论，本文尝试使用复合函数变换来提高原始数据序列的光滑性，从而提高模型的拟合精度．并将此方法应用于全国人均主要工农业产品产量 (发电量)的建模中．应用结果表明，该方法所建模型的拟合精度高于传统的GM(1，1)模型和对数函数变换GM(1,1)模型的精度．建模结果表明本文提出的改进方法的有效性．
函数变换；光滑度；GM(1,1)模型；精度
0 引言
GM(1,1)模型因其要求“信息量小”，“样本数据少”的研究特性和实用简单且易于检验等优点，被广泛应用于工农业、经济等各领域[1-3]．大量研究表明，原始数据序列的光滑性是影响GM(1,1)模型预测精度的重要因素之一．文献[4]提出了对原始数据序列进行指数函数变换来提高数据序列光滑性的方法，文献[5]使用幂函数变换，文献[6]提出了使用三角函数对原始数据序列做变换，使得模型预测精度得到了提高．本文在文献[4-10]的基础上，尝试使用复合函数变换来提高原始数据序列的光滑性，同时在理论上证明了此方法的有效性，并且将此方法应用于全国人均主要工农业产品产量(发电量)的建模中，应用结果表明，本文所提出的方法是有效的．
1 GM(1,1)模型改进的数据变换函数方法
1.1 等间距GM(1,1)模型的建模步骤
设x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…，x(0)(n)},x(0)(i)>0，i=1,2,…n，为原始数据序列．
步骤2:对一次累加生成序列(1-AGO)x(1)建立等间距GM(1,1)模型，对应的微分方程为：
其差分形式(灰色微分方程)为：
x(0)(k)+az(1)(k)=b，k=2,3,…n
(1)
其中z(1)(k)=0.5x(1)(k)+0.5x(1)(k-1)k=2,3,…n为一次累加生成序列(1-AGO)的均值生成序列．
步骤4:若规定x(1)(1)=x(0)(1)则灰色微分方程(1)的时间响应函数(离散解)：
还原得到拟合后的数据为：
1.2 数据变换函数方法提高GM(1,1)模型拟合精度
定义1.2设f(·)和g(·)为两个非负数据变换函数，如果满足
对任意非负单调递增序列{x(0)(k)},(k=1,2,…，n)均有
则称序列{f(x0(k))}的光滑性优于序列{g(x0(k))}的光滑性．即，在提高序列光滑性上f(·)比g(·)强．
定理1.2{x(0)(k)}(x(0)(k)>eT，k=1,2,…，n)(T>1，a>1)为非负递增序列，对任意k=1，2，…,n，有若
证明：先证明第一个不等式，因为{a-lnx(0)(k)}为递减序列，{lnx(0)(k)}为递增序列，所以有
a-lnx(0)(k)≤a-lnx(0)(1)(t=1,2,…k-1)
(2)
lnx(0)(t)≤lnx(0)(k)(t=1,2,…k-1)
(3)
式(2)与式(3)相乘我们有
a-lnx(0)(k)lnx(0)(1)≤a-lnx(0)(1)lnx(0)(k)
a-lnx(0)(k)lnx(0)(2)≤a-lnx(0)(2)lnx(0)(k)
⋮
a-lnx(0)(k)lnx(0)(k-1)≤a-lnx(0)(1)lnx(0)(k-1)
将以上k-1个式子相加得
即
再证明第二个不等式
定理1.2当原始序列为一些数量级较大的数据时在提高原始数据序列光滑性上，线性对数-指数函数比单纯的对数函数的效果要好，对数函数要比传统GM(1,1)模型效果要好．
2 应用实例
人均发电量它是一个国家或地区的工农业生产和经济运行状况的重要衡量指标之一．因此建立GM(1,1)模型研究人均发电量的发展趋势有重要意义．现通过传统GM(1,1)模型、和本文提出的经对数函数变换及线性对数-指数函数变换改进的GM(1,1)模型对我国1998—2012年的人均发电量(数据见表1)进行建模，并将这几种不同模型的拟合精度加以比较，结果见表1．
表1 不同模型拟合结果和相对误差比较
数据来源：中华人民共和国国家统计局《中国统计年鉴一2013》
从表1我们可以看出，通过应用本文所提出的经线性对数-指数函数变换改进的GM(1,1)模型对我国人均主要工农业产品产量(发电量)所建模型的拟合精度最高，平均相对误差为3.26%，经对数函数变换改进的GM(1,1)模型的平均相对误差为3.71%，传统的GM(1,1)模型的平均相对误差为3.75%．可见改进模型结果可以较好的反应我国人均主要工农业产品产量(发电量)的真实值．
3 结语
基于复合函数变换，本文提出了一种提高原始数据序列光滑性的方法，并且在理论上证明了经过这种变换后原始数据序列光滑性可以得到提高．同时应用实例的运算结果说明了通过应用本文所提出的经线性对数-指数函数变换改进的GM(1,1)模型的拟合精度高于传统的GM(1,1)模型以及对数函数变换GM(1,1)模型．从而为研究我国其他地区人均发电量的发展趋势在方法上提供一些参考．
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GM(1,1)modelbasedonFunctionTransformationanditsApplication
YANGYue-dong1*，FENGQian-ni2
(1.College of Mathematics and Physics,Shanghai Normal University，Shanghai 200234,China；2.School of Science,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)
Based on function transformation theory,this paper attempts to improve the smoothness of the original data sequence using a composite function transformation,thus improving the accuracy of the model.The method has been applied to the modeling of the national percapital output of major industrial and agricultural products
(electricity).The results show that the fitting precision of the improved model is higher than that of the traditional GM(1,1)model and logarithmic function transform of the GM(1,1) model.The modeling results show the effectiveness of this improved model.
function transformation;smoothness;model;accuracy
梁怀学)
2014-06-01
上海市教委重点项目(14ZZ122)
N941.5
A
1674-3873-(2014)03-0079-03
