关于双稳定束方法对偶问题的研究

沈 洁，李 轩，李 娜

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

关于双稳定束方法对偶问题的研究

沈 洁，李 轩，李 娜

(辽宁师范大学 数学学院，辽宁 大连 116029)

对于带有非线性约束优化问题，本文在迫近束方法的思想基础上将水平束方法与其结合，应用双稳定束方法解决此优化问题.本文不仅从其对偶问题的角度研究了解的形式及相关性质，发现解的表现形式不尽相同，而且得出该解与之前迭代点的次梯度的凸组合有关的结论.进一步我们发现次梯度值和额定下降具有与单纯用迫近束方法从对偶问题角度解无约束优化问题相类似性质.

双稳定束方法；约束问题；对偶问题；次梯度

0 引言

非光滑优化问题在众多领域有广泛应用，前人在理论与算法方面都进行了广泛的研究，见[1-8]。文献[9]从对偶空间出发研究了无约束惩罚子问题

的解的表达形式及其相关性质.文献[10]中利用束方法研究了非光滑约束优化问题

其中f:Rn→R是非光滑凸函数，χ∈Rn是一个非空的凸闭集(典型的多面体).文献[10]中，作者将分别利用迫近束方法和水平束方法构造的目标函数的近似模型进行比较，结合对校正不同参数方法的难易的讨论以及最终在一定条件下解的一致性，作者将两种束方法结合产生新的束方法，即双稳定束方法.在求解过程中，[10]将对原问题的求解转换成对一系列带有水平约束的二次规划问题的求解：

1 双稳定性束方法

(1.1)

等价于

(1.2)

2 主要结果

(2.1)

(2.2)

(2.3)

且有以下关系式成立:

证明：问题(1.2)可写成关于参变量r，lk的二次规划问题，

(2.4)

其中

考虑后面的对偶问题，对每一个固定的μ，定义x(μ,λ)=argminxL(x,μ,λ)，它的最优性条件为

(2.5)

(2.6)

接着证明(ii),首先注意到，由于不存在对偶间隙，原始问题(1.2)的最优值等于对偶问题(2.6)的最优值：

(2.7)

为了证明(2.3)式，注意到对于所有的x∈χ有下式成立：

3 结论

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[10]W.Oliveira,M.Solodov.A Doubly Stabilized Bundle Method For Nonsmooth Convex Optimization[OL].www.optimization-online.April 2013.

ResearchontheDualProblemofDoublyStabilizedBundleMethodForConvexOptimization

SHENJie,LIXuan,LINa

(School of Mathematics,Liaoning Normal University,Dalian 116029,China)

For nonlinear constraint optimization problem, we try to solve it using doubly stabilized bundle method by combining the proximal bundle method with the level bundle method.This paper studies the form and the corresponding properties of the solution of subproblem from the viewpoint of the dual problem, finds that the forms of the solution are not similar, and comes to the conclusion that the solution is related to the convex combinations of the subgradient of the previous iteration.Furthermore, we find that the subgradients and the prediction descent have similar properties with the case in which we simply use the proximal bundle method to solve the unconstrained optimization problems from the point of view of dual problem.

doubly stabilized bundle method;constraint optimization;duality problem;subgradient

梁怀学)

2014-04-26

国家自然科学基金项目(11301246,11171138)

沈 洁(1973-),女,辽宁省沈阳市人,现为辽宁师范大学副教授,博士,硕士生导师.研究方向:运筹学与控制论．

O221.2

A

1674-3873-(2014)03-0064-04