分类讨论思想在高考解题中的应用

摘 要： 分类讨论作为一种数学思想，是解决复杂数学问题的有效手段，能体现学生的数学能力.它历年来都是高考的热点与重点，也是学生学习的一个难点，学生总是难以把握根据什么分类，怎样分类.本文结合例题介绍分类讨论在高考解题中的应用，通过不同类型的例子让学生进一步理解分类讨论方法及其在高考中的考查形式与特点.

关键词： 分类讨论 数学思想 高考解题 应用

分类讨论作为一种数学思想，简单说就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略，是解决复杂数学问题的有效手段，能体现学生的数学能力.所以它历年来都是高考的热点与重点，高考中的压轴题经常考查分类讨论的思想.但对学生来说也是一个难点，因为对根据什么分类，怎样分类，学生总是难以把握.下面结合例题介绍分类讨论思想在高考解题中的应用.

一、求解问题中涉及数学概念是分类定义的

有些数学概念本身就包含了分类，如绝对值的定义，直线的斜率，指数函数、对数函数等，这种分类讨论题型可以称为概念型.

分析：判断指数函数图像时，要对底数a分a>1和0

评注：本题结合指数函数图像变换和函数单调性及特殊点，考查学生分类讨论的能力，关键是按底数分类讨论，并结合图像与y轴交点位置排除错误答案.

二、求解运算过程中引起的分类讨论

有些数学问题在运算过程中产生两种以上情况就需要分类进行讨论，如不等式两边同乘以一个变量，就需要讨论这个变量是正、负还是零；由同一个角的正弦值求余弦值，需要开方，要讨论正负；等比数列的前n项和的公式分为q=1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.

评注：在等差数列、等比数列的运算求解过程中，经常遇到需要等式两边同除以一个字母的情况，一定要注意分类讨论，做到不漏解，完整地解答题目.

三、由参数变化引起的分类讨论

当数学问题含有变量或参数时，它们取不同的值会对问题产生不同的影响，因此解题时必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时，分a>0、a=0和a<0三种情况讨论，可以称为含参型.

（Ⅰ）证明：当0≤x≤1时，

（ⅰ）函数f（x）的最大值为|2a-b|+a；

（ⅱ）f（x）+|2a-b|+a≥0.

（Ⅱ）略.

分析：本题涉及变量较多，要科学合理地分类，注意分类的层次性.

评注：本题第二小题是一个开放性问题，题中变量t<0，但此时直线l并不一定满足条件，探索发现需分-1

五、解决实际问题中的分类讨论

如处理排列、组合概率等应用问题，通常需要根据问题的实际意义，将研究对象先进行适当分类，才有利于解决问题.

例题5：（2012浙江理6）若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）

A.60种 B.63种 C.65种 D.66种

评注：仔细观察问题后，发现必须在解决问题前将1至9分成两类：奇数和偶数，然后才能非常有条理地讨论4个数之和为偶数的三种情况，学会分类处理是关键.

从以上五个方面的例题可以看出，解答分类讨论问题时，基本方法和步骤是：首先，确定讨论对象及所讨论对象的全体的范围；其次，确定分类标准，正确合理地进行分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥，没有重复；再次，对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后，归纳小结，综合得出结论.