另类方法求二面角的平面角

引理：对任意△PAE，设∠PAE=θ1，作PB⊥AE于点B，则有公式：

以下分三种情况进行证明：

综上所述，该引理成立.

四角公式及证明

因为任意一个平面都可用平面上不共线的三点来确定，故任意一个二面角都可以转化为一个三棱锥模型来求.

四角公式：如图4，设二面角P-AE-F的平面角为θ，∠PAE=θ1，∠FAE=θ2，∠PAF=θ3，则有公式：

证明：如图5，在三棱锥P-AEF中，设二面角P-AE-F的平面角为θ，∠PAE=θ1，∠FAE=θ2（线棱角），∠PAF=θ3（线线角）. 作PB⊥AE于点B，作FC⊥AE于点C，在棱AE上取一点O，在△FAE中作OF′∥CF交EF于点F′，在△PAE中作OP′∥BP交EP于点P′.

四角公式求二面角在高考中的应用

例1 （2010年湖北高考）如图6，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1.

（1）设P为AC的中点，Q在AB上且AB=3AQ，证明：PQ⊥OA；

（2）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

解析 （1）略.

（2）法1：以棱AC上的点A为三角的顶点，由四角公式知θ1=∠OAC，θ2=∠BAC，θ3=∠OAB.

法2：以棱AC上的点C为三角的顶点，由四角公式知θ1=∠OCA=45° ④，θ3=∠OCB=45° ⑤.

点评 利用四角公式求二面角，关键是确定棱上某点，作三角θ1，θ2，θ3的顶点，找出两个线棱角及线线角，最后归结为解三角形.

（1）证明：DC1⊥BC；

（2）求二面角A1-BD-C1的大小.

解析 （1）略.

（2）由（1）知DC1⊥BC，又CC1⊥BC，所以BC⊥平面ACC1A1，所以AC⊥BC. 依题意设AC=BC=1，则AA1=2.

以棱BD上的点D为三角的顶点，由四角公式知θ1=∠A1DB=π-∠ADB，θ2=∠C1DB=90° ①，θ3=∠A1DC1=45° ②.

例3 在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2. 如图8所示，沿对角线BD将△ABD折起，那么A，C之间距离为多少时，二面角A-BD-C为直二面角？

解析 由已知条件易得△ABD，△BCD都是边长为2的正三角形.

以棱BD上的点B为三角的顶点，由四角公式知θ1=∠ABD=60° ①，θ2=∠CBD=60° ②，θ3=∠ABC.