立体几何中的探索性问题

重点难点

立体几何的计算和证明常常涉及两大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等.

方法突破

一、与平行有关的探索性问题

对线面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共面，根据共面向量定理及直线在平面外，可得线面平行；（2）求出平面的法向量，然后证明平面的法向量与直线的方向向量垂直即可.

对面面平行问题的向量解法，有两种思路：（1）利用向量证明一个平面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面平行的判定定理即得；（ibb84R6hX7bzhc+zknNz/w==2）分别求出两个平面的法向量，若能证明这两个法向量平行，则这两个平面就平行.

二、与垂直有关的探索性问题

对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法. 先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面的法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再运用线面垂直的判定定理即可.

三、与角有关的探索性问题

利用向量知识求线线角、线面角、二面角的大小的方法.

四、与距离有关的探索性问题

如图1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形. 平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

思索 空间中的线线、线面、面面垂直问题都可以转化为两向量的垂直问题来解决，使几何问题代数化，降低思维的难度. 立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.

破解 （1）略.

（2）因为AB=3，AC=4，BC=5，所以AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两垂直. 以A为原点，分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系（如图2）.