空间距离
2013-12-29吴文尧
重点难点
在立体几何中,空间距离主要有:点到平面的距离、两异面直线间的距离、直线到平面的距离(线面平行时)、两平行平面间的距离. 所有的距离计算问题都可以化归为求点到平面的距离,所以求空间距离的重点就转移到如何求点到平面的距离;难点是如何把其他形式的距离转化为点到平面的距离,以及在涉及具体问题时求点到平面距离的解题对策的选择及灵活应用.
方法突破
一、注意把线线距离、线面距离、面面距离转化为点到平面的距离
(1)线面距离化归为点面距离:当直线与平面平行时,直线上的点到平面的距离处处相等,直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离.
(2)面面距离化归为点面距离:当平面与平面平行时,其中一个平面上的点到另一平面的距离处处相等,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离.
二、掌握求点到平面的距离的几种常用方法
(1)直接构作法:设点A为平面α外一点,过点A作AB⊥平面α于B,则AB的长即为点A到平面α的距离.
(2)平行转移法:设点A为平面α外一点,过点A作直线a与平面α平行,则直线a上的任意一点到平面α的距离即为点A到平面α的距离.
典例精讲
2. 如图7,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为________.
4. 如图8,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,F为A1B1的中点,求点A到平面BDF的距离.
5. 如图9,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=4,AB=2. 以AC的中点Q为球心,AC为直径的球面交PD于点M,交PC于点N.
(1)证明:M为PD的中点;
(2)设直线CD与平面ACM所成的角为θ,求sinθ的值;
(3)求点N到平面ACM的距离.
参考答案
5. (1)依题意知,AC是所作球面的直径,所以AM⊥MC. 又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD. 又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AM,所以AM⊥平面PCD,故AM⊥PD.又因为AP=AD,所以M为PD的中点.