空间角

重点难点

重点：以空间几何体为载体的空间异面直线所成角、直线与平面所成角的计算以及二面角的计算.

难点：用空间向量法求异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角时，两向量夹角与空间角之间的关系.

方法突破

对空间角的求解，应当破解画图、读图、识图、用图的层层关口，提升解题思维中的空间想象能力和逻辑推理论证的能力. 常见类型与方法如下.

1. 求异面直线所成角的方法

方法二：几何法. 用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到（或作出）的角即为所求角；③通过解三角形来求角.

2. 求直线与平面所成角的方法

方法二：几何法. 用几何法求直线l与平面α所成角的步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.

3. 求二面角的方法

方法二：几何法. 用几何法求二面角α-l-β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角（以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角）；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角. 求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定.

典例精讲

考点1 异面直线所成角

（2013年福州选修2-1模块质检）如图1，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，求BD1与AC夹角的余弦值.

考点2 直线和平面所成角

思索 求出平面ECF的法向量，再利用线面所成角的公式，即可求其正弦值.

（2013年天津高考（节选））如图4，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

思索 先找直线BC在平面A1CD上的射影，可过点B作BG⊥A1D交直线A1D于G，证明BG⊥平面A1CD，从而可证明∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角. 在△BGC中，求出sin∠BCG的值.

破解 如图5，在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于G，连结CG.易知平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，故BG⊥平面A1CD. 由此得∠BCG为直考点3 二面角

某几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图如图6所示，求二面角C1-AB1-C的余弦值.