直线、平面垂直的判定与性质

重点难点

本部分内容包括线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质.

重点：（1）理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，掌握面面垂直的判定定理和性质定理；（2）能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

难点：掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直这三种垂直关系的相互转化.

方法突破

一、一种关系——垂直问题的转化关系

垂直关系证明的基本思想是转化，即由线线垂直得线面垂直（线面垂直的判定定理），由线面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得线面垂直（面面垂直的性质定理），由线面垂直得线线垂直（线面垂直的定义）. 垂直关系的证明就是在这些性质定理和判定定理的使用中，将各种垂直关系不断进行转化.在处理实际问题的过程中，我们常常需要先从题设条件入手，明确已有的垂直关系，再从结论分析待证的垂直条件，从而搭建起已知与未知之间的“桥梁”.

二、三类证法

1. 证明线线垂直的方法

（1）定义：两条直线所成的角为90°.

（2）平面几何中证明线线垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直线斜率的乘积为-1等.

（3）线面垂直的性质：a⊥α，bαa⊥b.

（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥αa⊥b.

2. 证明线面垂直的方法

（1）定义：a与α内任何直线都垂直a⊥α.

（2）线面垂直的判定定理1：m，nα，m∩n=A，l⊥m，l⊥nl⊥α.

（3）线面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥αb⊥α.

（4）面面平行的性质：α∥β，a⊥αa⊥β.

（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l，aα，a⊥la⊥β.

3. 证明面面垂直的方法

（1）定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：aα，a⊥βα⊥β.

典例精讲

（2013年广东高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）

A. 若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n

B. 若α∥β，mα，nβ，则m∥n

C. 若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β

D. 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

思索 本题考查线线、线面和面面之间的位置关系. 解答此类问题，首先要对概念认识清楚、对定理理解透彻；其次要具备较强的空间想象能力，能通过对题设条件的分析想象出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，从而做出正确的判断和简单的论证. 另外，在立体几何中正方体是较简单、较特殊的几何模型，它蕴涵大量空间的线面概念和位置关系、各种角度和距离，且与其他几何体有联系. 因此，构造正方体也是解决这类问题的有力武器.将条件和结论置入正方体中，逐个判断，可使解题过程简洁明快.

破解 构造正方体ABCD-A1B1C1D1，对于A选项，不妨记平面ABCD为α，平面AA1D1D为β，根据已知条件取直线BC为m，直线A1D1为n，但是m∥n，所以A错. 对于B选项，不妨记平面ABCD为α，平面A1B1C1D1为β，根据已知条件取直线AB为m，直线A1D1为n，但是m⊥n，所以B错. 对于C选项，取平面ABCD为α，平面A1B1C1D1为β，直线AB为m，直线A1D1为n，于是m⊥n，但是α∥β，所以C错. 故答案为D.

（2013年北京高考）如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）平面BEF⊥平面PCD.

思索 （1）面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直. 本题中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）证明面面垂直，应先转化为证明线面垂直，再把证明线面垂直转化为证明线线垂直. 若由已知条件所得的其他线面垂直的结论，常常利用其性质辅助证明线线垂直.如第（1）问的结论就对第（2）问的证明起辅助作用.

破解 （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB⊥AD，而且易知四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点，PH为△PAD中AD上的高.

（1）证明：PH⊥平面ABCD；

（3）证明：EF⊥平面PAB.

思索 （1）线面垂直的证明，实质是由线线垂直推证得来，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直. 推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件. 三角形底边的高、等腰三角形底边的中线、勾股定理等都是寻找线线垂直的有力工具. 甚至有时，当证明线面垂直不易利用条件时，可试将线段沿特殊路径平移至特殊位置，这时可能和已知条件更接近. 例如第（3）问，若直接证明思维受阻，则可以考虑利用已知条件平移直线EF.

（2）对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，常常根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积，解题时应充分利用已经得到的结论，可以快速找到突破口.

破解 （1）因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD. 因为AB⊥平面PAD，PH平面PAD，所以PH⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PH⊥平面ABCD.

变式练习

1. 已知下列命题（其中a，b为直线，α为平面）：

①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；

②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；

③若a∥α，b⊥α，则a⊥b；

④若a⊥b，则过b有且只有一个平面与a垂直.

上述四个命题中，真命题是（ ）

A. ①② B. ②③

C. ②④ D. ③④

2. （2013年浙江高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ）

A. 若m∥α，n∥α，则m∥n

B. 若m∥α，m∥β，则α∥β

C. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D. 若m∥α，α⊥β，则m⊥β

3. 如图4，四边形ABCD为正方形，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=4，AE=2，EF=1.

（1）求证：BC⊥AF；

（2）试判断直线AF与平面EBC是否垂直，若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P-BDF的体积.

参考答案：

1. D

2. C