直线、平面平行的判定与性质

重点难点

重点：掌握线线平行、线面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题.

难点：线面平行与面面平行在判定中的相互转化使用.

方法突破

线面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找出一条直线与这条直线平行，就可断定这条直线必与这个平面平行. 线面平行的性质定理的实质是：已知线面平行，过已知直线作一平面与已知平面相交，其交线必与已知直线平行. 两个平面平行问题的判定与证明，是将其转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题，即“线面平行，则面面平行”，必须注意这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面.

1. 判定线线平行的三种方法

（1）公理4：证明两直线同时平行于第三条直线.

（2）线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.

（3）平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.

2. 判定线面平行的三种方法

（1）根据线面平行的判定定理：如果不在某个平面内的一条直线与该平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.

使用定理时，一定要说明“平面外的一条直线与平面内的一条直线平行”，若不注明该条件，则证明过程就不完备.

（2）面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.

（3）向量法（详见例3）.

3. 判定面面平行的三种方法

（1）根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行.

（2）平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行.

（3）向量法：如果两个不同平面的法向量相互平行，那么就可以判定两个平面平行.

典例精讲

一、线线平行的判定

已知四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形.

思索 若证四边形是平行四边形，只需证一组对边相等且平行或两组对边分别平行，选其一证出即可. 利用平行公理证明两条直线平行的思路就是要找准一条直线与这两条直线都平行的直线来传递.

二、线面平行是解决面面平行的纽带

（2013年江苏高考（节选））如图2，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是侧棱SA，SC的中点. 求证：平面EFG∥平面ABC.

思索 证明平面EFG∥平面ABC，需要在平面EFG内找到两条相交直线与平面ABC平行，而线面平行的判定定理告诉我们，要证明线面平行，需要转化为证明线线平行. 因此，证明该题的关键是在平面内最为恰当的位置找出一条直线与该直线平行.

破解 （1）因为E，G分别是侧棱SA，SC的中点，所以EG∥AC.

因为AC平面ABC，EG平面ABC，所以EG∥平面ABC.

因为AS=AB，AF⊥SB，所以F为SB的中点，所以EF∥AB.

因为AB平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.

因为EF∩EG=E，EF，EG平面EFG，所以平面EFG∥平面ABC.

三、多种渠道解决线面平行的问题

破解 证法一：设AC与BD相交于G，连接EG，则G是AC的中点. 因为M是线段EF的中点，ACEF是矩形，所以EM∥AG，EM=AG，所以四边形AGmGYTwpOJBWBwv+4aoglSsOrmpPA/jy1CC++QboQNwk8=EM是平行四边形，所以EG∥AM. 因为AM不在平面BDE内，EG在平面BDE内，所以AM∥平面BDE.

变式练习

1. 如图4，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点. 求证：

（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；

（2）直线A1F∥平面ADE.

2. 如图5，在三棱锥S-ABC中，M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，求证：平面MNP∥平面ABC.

3. 如图6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB的中点，求证：AC1∥平面CDB1.

参考答案

1. （1）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因为AD平面ABC，所以CC1⊥AD. 因为AD⊥DE，且CC1，DE平面BCC1B1，CC1∩DE=E，所以AD⊥平面BCC1B1. 又因为AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

（2）因为A1B1=A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F. 因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1∩B1C1=C1，所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知，AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又因为AD平面ADE，A1F平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE

2. 因为M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，所以MN∥AB，PN∥BC. 因为MN平面ABC，AB平面ABC，PN平面ABC，BC平面ABC，所以MN∥平面ABC，PN∥平面ABC. 因为MN∩PN=N，MN，PN平面MPN. 所以平面MNP∥平面ABC.