如何让学生自主参与数学概念学习

摘 要：概念是思维的工具，在概念教学中，教师要创设情境，发挥学生的主体作用，引导学生自主参与概念的发生、发展、形成与巩固的全过程，抓住概念的本质，主动构建概念网络，领悟概念中所蕴涵的数学思想方法.

关键词：数学概念；自主参与；概念教学；概念学习

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提. 数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，具有概括性强、抽象程度高的特点，但它是判断和推理的基础，是培养学生逻辑思维能力的必要条件；概念是思维的工具，因为分析、推理都要依据概念. 因此，在数学概念教学中，教师要发挥学生的主体作用，引导学生自主参与概念的发生、发展、形成与巩固的全过程，让学生领会蕴藏其中的数学方法，体验科学精神.

创设情境，挖掘模型，感知概念内涵

数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因. 数学教师应从实际出发，创设好的概念教学情境，引导学生观察有关事物、模型、图识等，辨别同类事物的不同例子，学生在感性认识的基础上，归纳出各个例子的共同属性，从具体实例中抽象出数学概念. 在课堂上提供充足的思维材料，呈现与概念有明显联系、直观性强的现实原型，学生触感实物完整的表象，从中抽象出概念的内涵.

许多抽象的数学概念在现实中能够找到实际原型，教师要充分挖掘课本内容与实际应用之间的联系，引导学生构造数学问题的实际模型. 例如，不等在生活中有许多的实际模型.

实际模型一：将a千克的糖加水配成b千克的糖水，其浓度为，若在此糖水中再加入m千克的糖，其浓度为，显然加糖后浓度增大，即原不等式成立.

实际模型二：建筑学规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面. 采光度越大，说明采光条件越好，问增加同样的窗户面积与地面面积后采光条件变好了，还是变坏了？说明理由.

数学概念有具体性和抽象性双重特性. 教学中从具体性入手，使学生形成抽象的数学概念. 在椭圆概念的教学时，笔者让学生动手做实验：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察亲自画出来的图形后，归纳总结出椭圆的定义.

教师要留给学生足够的活动与实验的时间，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性，促使学生形成感性认识，在对具体问题的体验中感知概念，必要时组织学生对概念的内涵和外延进行仔细讨论分析.

抓住本质，主动构建，理解新概念

在数学概念的学习过程中，学生始终是信息加工的主体，是对数学概念的探索、发现和概念意义的主动建构者. 教师要引导学生主动地搜集信息和材料，提出假设，验证假设，并加以检验，逐步去掉非本质属性，提炼、抽象出能够表明数学关系的本质属性；并把获得的新概念的本质属性推广到一切同类事物中去，促使数学概念的内涵不断得到深化，也使数学概念的外延不断得到扩大，从而扩大或改组原有的认知结构. 每个概念都有反映其本质的关键词，在概念的教学中，教师要利用各种方式让学生理解关键词所反映概念的本质内容.

在等差数列的概念教学中，如何理解“从第二项起”与“同一个常数”这两组关键词，我们可以构造反例说明，如果没有“从第二项起”的限制，第一项不能与前一项相减；如果没有“同一个常数”，举反例“1，3，5，6，12从第二项起，每一项与前一项的差等于常数，但此数列不是等差数列”，从而说明这两组词缺一不可.

反思联系，类比归纳，同化新概念

由学生主动地与原认知结构中的有关概念相联系去学习和掌握概念的方式，叫做概念同化. 中学数学中的许多概念有本质不同的一面，又有内在联系的一面. 学习时如果只注意某一概念本身，忽视不同概念之间的区别，就会使对概念的掌握停留在肤浅的表面上. 教师要引导学生寻找、分析其联系与区别，通过比较排除那些与概念中描述无关或相异的性质，突出概念中强调的性质.

例如，利用椭圆的定义类比归纳出双曲线的定义，利用等差数列的定义类比归纳出等比数列的定义，利用实数的概念对比向量的概念，通过实数的运算对比虚数的运算，等等. 类比有利于学生理解及区别概念，对比有利于减少概念的混淆.

由于数学概念的抽象性、严谨性，决定了学生不可能一次性地把握数学概念的本质，必须经过多次地反复思考、深入研究、自我调整. 有些数学概念似曾相识，从表面看好像差不多，但本质却不一样. 教师要组织学生对这些有联系的概念进行反思. 反思两个概念之间有什么联系，在什么方面有联系，为什么会产生联系，从这些联系中能否概括出某种规律，对于容易混淆或难以理解的概念，可以运用分析、对比、辨析、比较的方法，进一步理解其区别与联系，指出他们的相同点和不同点，抓住概念的本质.

在数学概念教学中，教师要重视新旧概念之间的相互联系，指导学生利用旧概念同化或顺应新概念. 引导学生对有联系的概念进行反思，使每一个数学概念都不孤立，从而起到举一反三、融会贯通的作用.

绘制概念图，发现关系，构建概念网络

根据人的记忆规律，如果把所学的概念纳入一个网络，就不容易遗忘，而且在解决问题时也更容易快速检索出所需的概念.在概念网络中激活任意一个网点，都将引出相关的联想.

概念图是表示概念和概念之间相互关系的空间网络结构图.概念图包括概念、分支和层次、概念间的连结线和连结语、例子等几部分. 例如在学习四棱柱时，会遇到许多特殊的四棱柱，我们可利用关系图（如图1所示）来巩固这些概念. 在给出了“棱柱”的概念后，当底面为平行四边形时就成了平行六面体等，这样反而容易理解和对比记忆. 图中的每一个数学概念都不是孤立的，各概念之间关系及异同点在图中也很容易找出.

通过制作概念图，可以促使学生积极动手和思考，使他们能够从整体上掌握基本知识结构和各个知识间的关系；通过制作概念图，可促进新旧概念的整合，形成概念网络；随着知识的积累，网络的编织将更加完整. 当用概念图把知识展示出来时，知识结构会变得更加清晰，这时很容易产生新想法. 概念图中的交叉连结需要横向思维，是发现和形成概念间新的关系、产生新知识的重要一环. 实践证明，制作概念图是学生乐于接受的一种学习方式，因为它提供了一种有效的思维工具，为学生主动建构概念开启了一扇门.

运用概念，巩固知识，抓住概念本质

学习概念，是为了能运用概念进行思维，运用概念解决问题.依据认识论的观点，一个完整的教学过程必须经过“由感性的具体上升到抽象的规定”和“再由抽象的规定发展到思维中的具体”这样两个科学抽象的阶段. 概念的运用阶段是数学概念教学不可缺少的环节，因为通过应用概念的练习能够帮助学生形成运用概念的技能. 但要注意，练习的目的在于巩固深化概念，形成技能，培养分析问题、解决问题的能力，因此，选题要典型、灵活多样，对题目的挖掘、探讨要力求深入.

如椭圆的定义，学生常常记为：“到两定点的距离之和为定长的点的轨迹”. 教学时，笔者设计以下问题链，让学生讨论：（1）平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为4，则P点的轨迹是什么？（2）平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为6，则P点的轨迹是什么？（3）平面上的动点P到两定点（-3，0），（3，0）的距离之和为8，则P点的轨迹是什么？通过分析容易得到：①当2a<2c时，轨迹不存在；②当2a=2c时，轨迹为一条线段；③当2a>2c时，轨迹为椭圆，这样就有效加深了学生对椭圆概念中“a>c”这一条件的理解.

展现思维，揭示思想，深化概念

数学教学的本质是展示和发展思维的过程. 概念是思维的基本形式之一，是对一切事物进行判断和推理的基础，它是数学知识的重要组成部分. 许多数学概念都具有抽象性强的特点，所以它是对学生进行思维训练的极好素材. 学生理解数学概念是掌握数学基础知识的前提，又是发展智力、培养能力的基础. 教师应加强对基本概念和基本思想的落实与应用，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终. 在数学概念教学中，教师应充分展现概念的产生、形成、深化和运用的思维过程.

例如，函数概念来源于客观实际需要，也来自于数学内部发展的需要，它是以变化与对应的思想为基础的数学概念. 要使学生理解函数概念，必须从运动变化的角度研究，研究各种变量之间存在对应规律与相互联系. 教师要指导学生逐步深化概念，要从具体到抽象、从特殊到一般地认识概念.

数学概念的学习是从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践的反复过程. 在数学概念的教学中，教师要充分认识学生已有的认知结构，从教材和学生的实际出发，将上述概念学习的策略相互渗透交融，有选择的运用，使学生在概念与概念的相互作用中不断领悟，逐步加深对概念的理解，提高学生的思维水平与数学素养.