读懂数学，实施有效教学

摘 要：评价一堂数学课的好坏是多方面的，但数学方面的评价是最重要的，数学课不仅要让学生学习数学知识，还要让学生体会数学知识中所蕴涵的思想方法. 函数奇偶性教学中要让学生体会局部把握整体的思想、定义的逻辑必要性，及其在知识结构中的地位. 教师要清楚定义判断与特值法判断非奇非偶思维层次上的差异性.

关键词：数学思想方法；知识结构；逻辑必要性；函数奇偶性

近来笔者听了富阳市某高中陈老师的一节《函数奇偶性》的公开课，富阳市基本普及了高中教育，该所学校高中学生的数学成绩在富阳市所有学生中居中等. 笔者深知，要教好数学，做好学情分析当然是必要的，只有搞清了学情，才能知道学生在学习中哪块知识会成为难点，最近发展区在哪儿. 但听了公开课后，笔者深切地感受到，读懂数学同学情分析同样重要，只有读懂数学，才能知道教什么，为什么教. 只有读懂数学，才能看清数学的本质. 中学数学看似简单，实则不然，要读懂并不容易.因为简单的背后往往蕴藏着深刻的思想与方法；只有在读懂的基础上进行的教学才有可能抓住数学本质，从而进行有效的、优质的教学.

教学过程简述

1.回顾初中学过的中心对称和轴对称知识，并求P（3，2）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标. 一般地，求P（a，b）关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标.

2. 出示函数f（x）=x2，f（x）=x的图象，均有f（1）=f（-1），f（-2）=f（2），f（-3）=f（3），对于任意的x，有f（-x）=f（x），归纳出偶函数的定义，并归纳出偶函数的两个特征：偶函数的图象关于y轴对称；偶函数的定义域关于原点对称.

3. 类似地，归纳出奇函数的定义和特征.

4. 例题：判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）=x3；

（2）f（x）=2x2+1；

（4）f（x）=x-1（教师用f（-1）≠±f（1），说明函数非奇非偶）

5. 判断一次函数、二次函数、反比例的奇偶性.

6. 归纳小结，布置作业.

这是函数奇偶性教学的常见流程，这一过程有几个问题值得我们思考.

教学过程的评述

1. 函数奇偶性蕴涵的思想方法

函数的奇偶性蕴涵有用局部把握整体的思想方法，为了使数学思想方法显化，安排这样的例题是必须的：已知奇偶函数的一半图象，求另一半图象. 普通高中课程标准实验教科书《数学1》（必修）（人教版）（以下简称人教版教材）在这一点上做得很好，不仅给出了思考题，还给出了相应的练习题. 我们一线教师教学中要明白教材编写的意图，把思想方法显化. 上面教学过程中，省略相关的题目是不妥的，是没有读懂奇偶性知识所蕴涵的思想方法的表现.

2. 定义判断函数奇偶性的逻辑必要性

如果函数的图象是给出的，并且图象是关于y轴对称的，这样的函数就是偶函数；如果图象是关于原点对称的，则是奇函数. 如果给出一个函数的图象，是很容易判断函数的奇偶性的. 人教版教材就是从几何直观导出函数奇偶性的定义的. 我们把这种用图象来判断奇偶性的方法叫做几何方法.

问题是一次函数、二次函数、反比例函数等图象是清楚的，能否用几何方法进行判断？用几何方法判断以后，是否还需要用定义进行严格的证明呢？我们认为是必须用定义重新证明的. 这是因为，当初我们画的图象是通过描点法得到的，是不精确的、粗略的，从而由这些图象得到的结论也是靠不住的，是有可能存在问题的. 定义证明能严格地保证关于y轴对称或关于原点对称，从而用定义得到的结论就是科学的、严谨的. 否则，现在有了图形计算器，所有函数的图象都是可以画出来的，是否都可以用几何方法来直观判断？

通过这样的思考，就得到了研究函数奇偶性定义的逻辑必要性，并且清楚了在给出函数的奇偶性定义后，有必要对初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数等进行奇偶性的判断，因为只有判断以后才能放心地说，这个函数是偶函数还是奇函数，或者是非奇非偶函数，从而明确函数图象是关于y轴对称还是关于原点对称. 从这个意义上，上面的教学处理非常合理. 而人教版教材例5之后，最好再增加一个例题.

例 判断下列函数的奇偶性：

（1）y=kx+b（k≠0）；

（2）y=ax2+bx+c（a≠0）；

当然，加了这个例题以后，人教版教材P36练习中的例4就可以删掉了.

3. 函数奇偶性在知识结构中的地位

读懂了奇偶性定义的逻辑必要性，对把握函数奇偶性教学的重点和难点也是有帮助的，如偶函数的定义“如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数”，重点是理解“定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x）”中x的任意性，同数学归纳法的教学类似，对任意性的理解也应当是难点.

因为考试只会考到函数奇偶性判断，陈老师的教学设计中，把“奇偶性的判断”作为重难点，这是受应试教育影响的结果.

我们把“x的任意性”作为难点，为了突破难点，作为教学铺垫，我们就要在学生知识结构中去寻找生长点. 复习初中的中心对称和轴对称知识是突破难点的一个有效手段.这样把所学知识纳入到学生的已有的知识结构中去了，或让新知识有了生长点：让函数的奇偶性从中心对称和轴对称知识中自然地生长出来. 从这个意义上，上面的流程相比人教版教材的设计更加合理.

但由上面教学过程2得到f（-x）=f（x）后，最好回到图象上去，说明图象上所有点都是关于y轴对称的. 这样也能把复习过的中心对称和轴对称知识用上，从而使教学的结构更流畅，逻辑性更强，进一步分析，若学生基础较好，上述知识还可以拓展到一般地轴对称与中心对称如何用代数方法进行判断，从而更好把函数奇偶性纳入到中心对称和轴对称这一知识结构中去.

4. 促进学生思维的发展

上面流程中，教师用f（-1）≠±f（1），说明函数非奇非偶，是一种反证法，是逆向思维，相比于直接用f（-x）≠±f（x）来说明函数非奇非偶难度更大一点. 如果只为了考试，用定义来说明非奇非偶要好；但从兼顾知识目标和能力目标、促进学生思维发展的角度看，还是用f（-1）≠ ±f（1）来说明非奇非偶要好.

总之，只有读懂了教材，了解学生，才能更合理地安排例习题，才能更有效地渗透数学思想，突出重点、突破难点，才能实施更有效的教学.