新课程理念下的数学研究性学习

摘 要：作为必修内容，研究性学习是普通高中新课程的一个亮点. 将研究性学习与数学学科教学进行有效整合，有利于培养学生具有永不满足、追求卓越的态度和学生发现问题、提出问题，从而解决问题的能力. 因此，研究性学习的开展应关注问题性、体验性、探究性、辨析性.

关键词：研究性学习；问题；体验；探究

研究性学习重过程、重发现、重参与，使学生在自己的不断探索中去发现问题、分析问题和解决问题，形成一种自主的创新能力. 那么，在新课程背景下如何引导学生开展研究性学习是每位数学教师所要思考的问题，本文结合自己的教学实践，谈谈几点认识.

研究性学习从提出问题开始，并围绕发现问题、提出问题、分析问题和解决问题来进行的，是学生在活动中掌握数学、体验数学的一种有效方式. 因此，研究性课题的选择应具有问题性.

案例1 正弦函数、余弦函数的奇偶性

在教材中研究了正弦函数、余弦函数的性质，其中关于奇偶性的结论为：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 如果对此结论不引导学生进行探究，学生就达不到运用结论解决问题的目的. 因此，在教学中，教师可以结合正弦曲线、余弦曲线以下列问题作为切入点，引导学生进行研究性学习.

问题1 y=sinx的图象的对称轴是否存在？如果存在，有多少条？其数学表达式是什么？y=cosx的图象的对称中心是否存在？如果存在，有多少个？其数学表达式是什么？

问题2 y=sinx的图象的对称中心是否存在？如果存在，有多少个？其数学表达式是什么？y=cosx的图象的对称轴是否存在？如果存在，有多少条？其数学表达式是什么？

问题3 在y=sinx，y=cosx图象的对称轴、对称中心处其函数值分别有什么特征？

问题4 当θ为何值时，函数y=sin（2x+θ）为奇函数？当θ为何值时，函数y=sin（2x+θ）为偶函数？

问题5 当θ为何值时，函数y=Asin（ωx+θ）为奇函数？当θ为何值时，函数y=Asin（ωx+θ）为偶函数？

问题6 当θ为何值时，函数y=Acos（ωx+θ）为奇函数？当θ为何值时，函数y=Acos（ωx+θ）为偶函数？

通过对以上几个问题的研究性学习，促使学生在知识和方法间的联系中体验和感悟数学的内涵，探究内在规律，这样不仅对正弦函数、余弦函数的性质有融会贯通的理解，而且能将一般形式的正弦函数、余弦函数的性质应用于解决有关问题，使数学思维提高到一个由例及类的层次，形成有效的“思维链”，有利于培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

当q=1时Sn=na1，此种方法引起了学生的争论，有人认为不正确，有人认为不完整，很多人知道还要用数学归纳法加以证明. 这是归纳猜想的方法，是一个很有意义的想法，它是知识间对比联想的结果.

当q=1时，Sn=na1，这种证法得到了大部分学生的好评，既简单又易懂.

上述方法都比课本介绍的“错位相减法”简单和容易理解，但有学生提出了质疑：为什么课本要采用“错位相减法”呢？新一轮的研究再度掀起，“错位相减法”究竟适合怎样的数列求和？在研究中让学生自己体验、自己领悟、自己构建. 从研究中我们感到学生中潜藏着巨大的能量，只要给学生以时间和空间，他们一定还你一个奇迹.

探究性

中学教材因受众多因素的限制，对知识的阐述具有一定的局限性，有待于进一步深化和拓展. 教师有意识地精选课本中的一些典型例题，并加以引申拓展，设计成探究型研究性课题，引导学生开展“研究性学习”，揭示其丰富的内涵，不仅有利于学生掌握基础知识，而且有助于培养学生的创新思维能力.

案例3 已知a，b是正数，且a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2.

教学中，在引导学生证明了结论之后，教师可以为学生设计如下的探究性问题：

探究一 （1）若a，b∈R，且a≠b，试比较a4+b4与a3b+ab3的大小.

探究二 （2）若a，b∈R+，且a≠b，试比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小.

探究三 （3）若a，b∈R，且a≠b，试比较a6+b6与a4b2+a2b4的大小.

探究四 （4）请你根据（1）-（3）的结果，将相关结论推广到一般情形.

随着问题（1）（2）（3）的解决，对于问题（4），学生群情激昂，讨论热烈. 根据讨论的结果，引导学生归纳出如下推广结论：

（1）若a，b∈R+，且a≠b，m，n∈N，mambn-m+an-mbm.

（2）若a，b∈R，且a≠b，m，n∈N，mambn-m+an-mbm.

（3）若a，b∈R+，且a≠b，m，n∈N，有am+n+bm+n>ambn+anbm.

教材中有许多重要的例题和习题反映相关数学理论的本质属性，蕴涵着数学的重要思想方法，对于这类问题，通过类比、引申、推广，提出新的问题并加以解决，既能有效巩固基础知识，又能培养学生的探索精神和创新能力，也能更好地发挥教材的扩张效应.

学生讨论研究后发现，前三种解法中都无法取到等号，只有解法4是正确的，通过几位学生的不断讲解、不断完善，大家清楚了这几个题目存在的问题，然后教师深刻分析了利用基本不等式求最值的注意问题，总结了求最值的三部曲：“一正、二定、三相等”.