揭示问题实质，探索数学复习课有效教学

摘 要：本文以“通过一定点P且与两定点A，B距离相等的直线有几条” 这道解析几何题为引例，探索空间到不共线三定点距离等于定值的平面个数、到空间不共面的四定点距离相等或到四定点距离之比为定值时平面的个数，揭示了解决此类问题的关键与实质.

关键词：有效教学；主动学习；类比猜想；探究性学习

前苏联著名心理学家维果茨基就教学与发展问题创造性地提出了两种发展水平的思想. 第一种水平是现有发展水平（也称现有发展区），第二种水平是最近发展水平（也称最近发展区）. 维果茨基强调指出，只有当教学走在发展前面的时候，才是好的教学.从教学促进学生发展的角度讲，现有发展区的问题可以让学生独立解决，最近发展区的问题必须依靠教师或学生的帮助、点拨、启发、引导才能解决. 从专业角度来讲，有效教学就是把学生的最近发展区转化为现有发展区，这样的教学就是有效教学. 新课程背景下高中数学有效教学是指教师以高中新课程基本理论为指导，以实现高中数学的课程目标为教学目标，通过采取有效的教学策略和科学的教学方法，促使学生从行为、认知和情感三个方面都充分融入教学活动之中，学生的广泛参与使得其自身在学习过程中不断得到启发、激励，从而优化知识结构，使学生有所发现、有所创造，课堂教学在师生的积极互动中进行，不仅促进学生的数学学习和终身发展，而且在学生不断质疑与提出新问题中也能促进教师的教学水平的提高.

数学课堂教学的有效性很大程度上在于学生是否具有举一反三、触类旁通的能力. 要达到这样的目的，在数学教学中，首先要把数学问题的“要素”或“基本构成”作为思考的第一问题，也就是教师把实质性的数学问题“教学法化”——让数学实质能够被学生触及并逐步理解，数学复习课的例题不在多，经典就行，通过对经典问题的背景探悉，追根索源，突出其数学问题的实质，引导学生不断深入思考，不仅能激发学生学习数学的热情，而且对培养学生的探究能力也大有益处. 本文通过对一个基本数学问题的剖析，谈谈如何利用数学基本问题驱动数学课堂教学，探索如何引导学生有效地参与教学活动，变被动学习为主动学习，培养学生的发散思维，提高数学复习课的效率.

已知直线l通过定点P（1，2），且与点A（0，3）和点B（-4，1）距离相等，这样的直线有几条？

这是一道普通的解析几何题，学生不难得到正确结论，如果得到结论后就算了，那么这道题就没有多大教学价值.在高考数学复习中，我们要抓住例题的本质属性，引导学生进行思考，让学生在其思维最近发展区“跳一跳就能摘取更好的果实”. 高中《数学课程标准》（实验）曾指出，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维淹没在形式化的海洋中. 为了加深学生对这个问题的理解，让学生经历类似数学家的数学活动过程——数学的类比猜想、合情推理、证明等，体验数学知识的发生、发展过程，揭示数学的本质，充分挖掘这道题的教学功能，笔者不断把问题引向深入，以下是师生交流实录.

T：这个问题的结论有什么几何意义，你们从中得到什么启发？大家作出图形来观察一下.

学生通过画图观察，讨论，很快就有了结论，

S1：直线l与直线AB平行或者过线段AB的中点，

T：对！这可是一个很重要的结论，大家想想，能把这个结论类比推广到空间吗？

学生通过思考讨论，争相发表自己的见解.

S2：把上面条件中的直线改为平面，结论仍然成立：在空间，若平面α与直线AB平行或平面通过线段AB的中点，则有A，B到95rLNbY7cy3br+Dj8tjMjA==平面α的距离相等.

T：对！这个结论也有不少应用，请同学们做如下练习：

练习1 已知正△ABC的边长为4，则到△ABC三顶点距离都等于1的平面的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 5 D. 8

笔者巡视学生解答情况，发现选B的约占，另外选C和D的人数差不多，学生各自陈述自己的解题依据，很快就一致确认正确答案为D.

T：通过对此题的解答，你们又得到什么启示？

S4：到三角形三顶点距离相等的平面与三角形所在平面平行或通过三角形中位线.

S5：通过三角形一中位线与三角形三顶点距离等于定值的平面可能是2个、1个或0个（要视那条垂直于中位线的高与那个定值的大小关系而定.当这条高的一半大于那个定值时，有2个；当这条高的一半等于定值时，有1个；当这条高的一半小于定值时，为0个）

T：这两位同学的分析是正确的.如果把这道题中正△ABC的边长改为，其他条件不变，正确答案应该是几个？

S：（异口同声）有5个，应选C.

T：正确. 那么将边长改为多少，答案是B选项呢？

S：（一起回答）边长小于时.

T：非常好. 上面已把平面问题拓展到空间，将到两点距离相等的问题扩展为到三点距离相等的问题，想一想，还可以再拓展吗？例如，能不能将点再增多一些，提出与上面类似的问题？

S6：我发现，到空间不共面四点距离相等的平面存在，但一下还不知道有多少个.

T：对，这样的平面确实存在，这些平面有什么特点？你们能否类比上面情形作图，全部找出来？

学生经过一会儿的思考与讨论，个别说有1个，相当部分说有4个，还有相当部分学生说有7个. 经过大家讨论，明确了这样的平面有两大类：

（1）把四个点看做三棱锥的四个顶点，则三棱锥的中截面符合要求，这类有4个.

（2）平行于三棱锥两组相对棱，且过其余四条棱中点的平面也适合，这类有3个，分别如图1和图2和所示：

T：引例经过如此推广后，已经由线到点相等推广到面到点相等，由平面问题推广到空间问题，由原来到两个点距离相等推广到三个点和四个点距离相等的问题，你们还能把它再推广吗？

学生都在尝试着，有的学生尝试再把点数增加后，发现一般不存在到空间任意五点距离相等的平面，一时没提出有价值的问题.

T：有位哲学家曾经说过，考虑问题有时要注意从反面思考. 前面都是从距离相等的角度去考虑的，能否从条件的不相等的情形加以考虑呢？

经过教师的引导，学生终于提出新问题：到空间不共面四定点A，B，C，D距离的比为1∶1∶1∶2平面有多少个？

T：要到A，B，C三点距离相等，根据前面结论，这样的平面应有什么特点？

S：这样的平面与平面ABC平行或经过三角形ABC一中位线.

T：设直线AD与满足上面条件的平面α交于点P，则有

这时，学生的思维已被激活，余兴未尽，有的提出“如果是到不共面四个点A，B，C，D距离之比是1∶1∶2∶3或1∶2∶3∶4之类的平面又有多少个？”这样的问题更复杂，一下子笔者都有点难以招架，但通过上面的探究过程，在师生的共同努力下，很快就找到了解决此类问题的关键，这类问题的实质就是要解决“到某两定点（例如B，C）的距离之比为1∶2的平面是怎样确定的”，事实上，揭示例题蕴涵的本质属性，并不失时机地对问题加以推广，不仅有助于学生问题意识的提高，有利于学生开展协作学习与探究性学习，转变传统的只由教师讲、学生听的学习方式，促进学生学习方式多元化，而且还有利于提升教师的教学智慧，促使教师不断地钻研数学本质，促进教学相长.

通过挖掘基本题实质，并利用其驱动我们的教学，使我们的课堂能围绕某个问题展开深入研究，就可以将问题拓展、引申的过程演绎得波澜壮阔，悬念迭起、扣人心弦，使学生有效地融入教学活动之中. 美国心理学家布鲁纳认为：“探索是数学的生命线”，在高三的复习课中，我们可以借助一些简单的经典问题为载体，由浅入深，层层递进，举一反三，触类旁通，将一个问题拓展为一组富有探究性的问题系列，并采用师生交流、生生交流的方式展开探究，让教学内容在师生互动中生成与充实，激发学生的学习热情，使学生能较好地运用类比的思想方法，培养学生的创新能力，这样就能收到事半功倍的效果.