函数图象对称性与函数周期性的联系

摘 要：函数图象的对称轴、函数图象的对称中心、函数的周期这三者之间有什么联系，本文给出了三个定理和三个推论. 这些结论可以更深刻地认识函数的性质，从更高层面上把握函数奇偶性、周期性的特征.

关键词：函数图象；对称性；周期性；联系

“函数图象对称性和函数周期性”在研究函数中有着重要的地位. 找出它们之间的内在联系，可以更加深刻认识函数的性质，从更高层面上把握函数奇偶性、周期性的特征，面对一些立意新颖，情景陌生的问题，能够迅速利用题中的已知性质，去挖掘未知性质，从而找到解决问题的突破口. 本文对此做一些总结.

例3 （2010年江西高考卷）给出下列三个命题：

①函数y=ln与y=lntan是同一函数；

②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与y=g（x）的图象也关于直线y=x对称；

③若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数.

其中真命题是（ ）

A. ①② B. ①③

C. ②③ D. ②

解：考虑定义域不同，①错误；排除A、B，对于③，题设是奇函数和对称轴，由定理3的推论，得f（x）是周期为4的周期函数，故选C.

例4 （2009年全国高考卷）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，则（ ）

A. f（x）是偶函数

B. f（x）是奇函数

C. f（x）=f（x+2）

D. f（x+3）是奇函数