一道常规数学题的一波三折

李九红

案例背景

课堂教学本来应是有计划、有目的、有组织的教学活动，教师在教学之前要对课堂进行精心预设。而实际的课堂是师生、生生不断交往互动的场所，是教师与学生个体或群体之间的知识、个性、情感不断碰撞、整合、调适的场所。所以，课堂的变化却是无

常的。

这节课教师设计的再完美、再合理、时间的分配再恰到好处，也比不上学生的学习所需。因此，实际课堂的教学往往是“变化无常”的，教师只能“随波逐流”。但是，教师是舵手，要根据课堂的情况，调整课堂的结构，发挥智者的智慧，巧妙和谐地解决课堂中的“突发”事件、“意外”事件，有时会有意想不到的效果。

案例描述

初二下学期的期末工作特别紧张，首先面临的是生物、地理的小中考，学校做了这样一个规定：小中考前，各科的作业尽量少，以至于最后一个星期规定不允许其他学科布置任何课外作业，所以对于我们理科特别是数学的复习来说，带来了新的挑战。又加之小中考结束后孩子们还没有来得及喘气、没来得及放松、

没来得及整理，紧接着期末考试又来临了。所以，我们的复习只能用课堂时间，而且内容多任务重。这一节课的任务是解决上一课做的综合练习上面孩子们存在的问题，为了节约时间，也为更好地互助学习，先让孩子们在小组内交流讨论，解决通过合作能解决的问题，然后再集体解决重点难题。孩子们在交流后提出了如下问题（填空题的最后一题）！

如图，将边长为9 cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN。若CE的长为6 cm，则折痕MN的长度是__________。

本来我想找个学生讲讲或我来点拨一下也就结束了，可是意外却发生了。有同学说，“老师让我们再想想吧！”可是这样一来本节课的任务就完成不了了，心里默默地着急，可又不能不满足学生的心愿呀！（矛盾重重，还是从学生的意愿出发，发挥学生的主体作用，试一试吧！不试，我怎能知道学生就不会呢？我是这样想的。）

孩子们先是沉默，后又窃窃私语，悄悄地交流各自的想法。突然有一同学有想法了，“老师，我有想法了，能说说吗？”“当然可以！”我用鼓励的眼神，微笑着对她说。

“我的想法是：求线段MN的长度就是构造一个直角三角形使MN成为直角三角形的一边，求出另两边，再利用勾股定理就可求出线段MN的长度，故我想这样添加辅助：作NF⊥AD，垂足为F，连接AE，NE，构造直角三角形MNF。”

“有道理！”我们班的一位同学点着头说。

我们知道NF=CD=AB=4 cm，可是MF的长度又该如何求呢？

问题又来了！

有的同学点头，有的同学看得云里雾里，直摇头“老师，太烦了，我还是不会！”

说着说着，解题的思路一下子被打开了，又有同学直接走上前去，“是不是可以过M点作MP垂直于BC，垂足为点P，只加这一条辅助线，然后证明△MNP≌△AED（AAS），得到DE=NP=3 cm，再利用勾股定理求MN的长。”好像较上一种方法略简单一点了。

“还是麻烦！”

“我们有部分同学平时能吃苦，不怕烦，只求解出来，还有爱动脑经，喜欢投机取巧的孩子们，你们还有捷径可走呀？”

孩子们想着、看着、等着，终于有同学说，“老师，刚才同学们已经证得△MNP≌△AED（AAS），那么就有MN=AE，直接在直角三角形ADE中求出AE的长度就行！”

又有同学补充说，“其实这一题可以化归为我们以前研究过的这样一道题‘只要点E、G和M、N分别在正方形的两组对边上，且满足EG垂直于NM，MN=EG都是成立的，对于选择题，可以直接用前面所学的结论，这样既快又准确，何乐而不为呢！”

“太棒了！”教室里一下子像炸开了锅似的，有的在梳理思路，有的在自我表扬，有的在称赞别人！……

不知不觉地一节课悄然逝去！

案例反思

1.课堂教学需重视学生的思维训练，激发学生的学习兴趣

爱因斯坦说：“兴趣是最好的教师。”所谓兴趣就是对事物喜好或关切的情绪。心理学认为人们力求认识某种事物和从事某项活动的意识倾向，它表现为人们对某件事物、某项活动的选择性态度和积极的情绪反应。兴趣在人的实践活动中具有重要的意义，可以使人集中注意，产生愉快紧张的心理状态。如果从开始就打断了学生的思绪，也许就能很快地结束本节课的教学任务。但是，学生思维的积极性就扼杀了！又何谈提高思维能力、激发学生的学习兴趣呢！

2.课堂教学要充分发挥学生的主体作用、教师的主导作用

目前，全国都在推行教育的改革，早已把素质教育推向教育改革的前沿，而素质教育的核心是“以人为本”，课堂教学当然应以学生为主，充分调动他们的积极性，充分体现他们的主体地位，才能回归教育的本质，才能培育出创造性的人才，才能培育出胜任新时代任务的公民。当然，教师不只是一个简单的秩序的维护者、表演时的报幕员，更应是一位优秀的指挥家，和突发事件的处理的智者，学生思维简单要带领他们深入思考；学生想深了，要帮助他们走出泥潭，陷入困境要帮他们解放自己……

如果当时只考虑自己的感受，而忽视学生的想法，“怎么这么繁？有没有谁会简单点的方法？”也许长期下去，学生就不会去想，不会自己学着解决问题，总想与我无关，老师会讲的。本来自己是主人，他也像客人一样彬彬有礼，只等坐享其成。因此，教师要给学生充分思考的时间和空间，适时有度地做好领路人！

3.正确处理好课堂的“突发”，提高教学的有效性

钟启泉教授说：“课堂教学不应该是一个封闭系统，也不应拘泥于预先设定的固定不变的程式。预设的目标在实施过程中需要开放地纳入直接经验、弹性灵活的成分以及始料未及的体验，鼓励师生互动中的即兴创造，超越目标预定的要求。”同学们的执著虽然没有能有计划地完成这节课的教学任务，但是却给学生的学习多了份意外的收获——从繁到减优化学习，品尝了思考的乐趣！这比做十道题更有乐趣！更有效！因此，只有将课前预设与课堂教学中的突发事件处理好，让课堂教学因预设而有序，因意外而精彩。这样，我们的课堂才更有活力，才更有效！

（作者单位 南京外国语学校仙林分校）