利用横向共振法对牛骨杨氏模量测定的讨论

董慧媛，王 进

（1.南京邮电大学，江苏 南京 210046；2.东南大学，江苏 南京 210096）

骨，作为一种生物材料，它的力学性质，对于动物体的力学行为是很重要的［1－2］。从临床意义上来看，弹性模量，极限强度和极限应变等是骨质最重要的一些力学性质。测定骨的弹性模量可采用静态法、动态法。但静态法往往由于材料本身性质所限，难于准确及多次测量。横向共振法是动态法中的一种，相对于动态法中的其他方法，如应力波法、自由振动法、纵向共振法，本方法具有测试仪器简单，易于操作的优点。相对于静态法，又具有简单易操作、测试时间短、结果误差小的优点，且能测量样品在不同温度下的杨氏模量等优点。文章采用横向共振法对牛骨样品进行了测定，并用一种较精密的静态法——激光散斑法来作比较，来验证对比。

1 原理

根据Voigt模型硬质骨可以看作由一个弹性系数为E的弹性元件和一个黏性系数为η的黏性元件并联而成，令σ、σε、ση分别为模型的总应力、弹性元件的应力和黏性元件的应力。ε、εε和εη分别为总应变、弹性体的应变和黏性体的应变，则有：

σ＝σε＋ση和ε＝εε＝εη，它的方程为σ＝Eε＋（式中η为骨的黏性系数，取η＝2.5 psi.s）。在棒横向振动的情况下，可列出其振动方程ρUtt＝－（EI Uxxxx＋ηI Uxxxt）（式中ρ为单位长度质量，I为横截面的惯量矩，E为杨氏模量，U（x，t）为任一点x在时刻t的横向位移）。

令U（x，t）＝ X（x）T（t）

据（1）的边界条件取KL ＝4.730（L为试样的长度）

据（2）式得共振频率

E机为所求杨氏模量 （3）

2 实 验

2.1 样品制作

取牛的腿骨的骨干部分，将其沿纵向锯开，取出骨髓，取皮质较厚，质地较为均匀的部分。经机械加工，制成几个尺寸不同，形状规则的样品。（3个为矩形截面棒，1个为圆形截面棒，其尺寸见表1）

表1 动态共振法测试结果表

2.2 实验装置

实验采用杨氏模量测量仪［3－5］，其装置如图1，由信号发生器输出的等幅正弦波信号加在一高阻抗耳机上，使电信号转变成机械振动。耳机上端伸出一支点，通过接触，使试样做受迫横向振动，试样另一端把试样的振动传给另一耳机，这时，振动又转变成电信号。该信号经放大后送示波器中，为减小试样受外力作用而产生的系统误差。可将样品用两根柔软的细线悬挂于节点处（分别在0.224 L和0.776 L处，节点处是不振动的）。使下端轻靠在激振点和拾振点处。（如图1所示）

图1 杨氏模量测量仪装置图

2.3 实验过程

当信号发生器的频率不等于试样的固有频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有电信号或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，试样发生共振，示波器上波形非常陡峭，频率计上读出的共振频率就是欲求的f，将此值代入（3）式，即可求得在该温度下的杨氏模量。改变不同的温度则可得出杨氏模量随温度变化的曲线。

2.4 测试数据表：

牛骨杨氏模量随温度的变化，见图2。

图2 杨氏模量随温度变化图

80℃附近有强降显示，可能是水的相变吸热和骨材的吸热升温两者的综合效果使升温减慢，但失水后应力减少，模量值下降。若将加热后，脱水的样品放入饱和水汽中，24 h后再用共振法测量，其值又会上升至24 apa。（几个样品都会恢复趋势）

2.5 激光散斑法的验证

为验证数据的可靠性，现采用较精密的激光散斑法来测量杨氏模量，其测试装置如图2所示。当试样沿纵向受拉应力F时，试样发生微小伸长形变，利用Fourier透镜对光场振幅透射函数进行Fourier变换。在同一全息干板H上分别拍摄试件上端形变前后的两个散斑图像，经显影、定影、冲洗得到包含有试件位移信息的双曝光散斑图。

采用逐点分析法来分析双曝光散斑图。因在双曝光散斑图上记录了发生微小位移的散斑对，每一散斑对可看成 “双孔”。当加载的拉应力不大时，试样伸长量很小，被考察面上各点位移可看作近似相等，所以双曝光散斑图上各对“双孔”间距大小相等，

指向相同。当用一束激光（不扩束）照射双曝光散斑图时，相当于激光束照亮了许多对间距相等，指向相同的“双孔”，结果在垂直激光束的屏幕S上出现了一组平行且等距的衍射条纹，如图3所示。

图3 激光散斑干涉照相示意图

设光通过“双孔”到达屏幕上某点P的振动分别为：

则“双孔”在P点引起的合振动为：

P点的光强为：

设屏S上相邻明条纹间距为Δr，由图4的几何关系可推导相邻明条纹间的光程差为：

图4 散斑图的逐点分析

试样的纵向拉伸弹性模量为：

图5 “双孔”干涉光路示意图

测试数据表如下：

表2 激光散斑法测试结果表

3 讨 论

（1）用动态共振法测得的牛骨弹性模量为（25.2±0.7）／apa。这和手册［2］上所提供的26 apa数值基本符合。因此，本测量方法对骨质材料样品的测量是可行的。

（2）利用激光散斑法测得的数据是26.5 apa，激光散斑法的结果较动态法大。其原因为：共振法是对试样施加交变信号而出现的横向振动。试样要经受拉伸、压缩的共同作用，对牛骨材料（或有孔疏松材质）所测模量就含压缩弹性模量影响的综合效应，该值应稍小于拉伸弹性模量。作为静态法的激光散斑法，只受拉伸作用，其测出的拉伸弹性模量就比共振法稍大，对于实际使用，共振法简单易操作并且测得的结果稳定，重现性好。

（3）在施加温度的过程中发现随着温度的上升，弹性模量的数值呈现变小的趋势，这是由于弹性模量应该是应力与应变的比值。由于骨质中的含水量（自由水，结合水）的减少，会影响到其应力的减小而使E变小。在80～100°附近则有明显的变化。可见这是一个明显的脱水过程。若将该样品投入饱和水汽中24 h，则在水分进入到其中时弹性模量显示出恢复的趋势。

［1］Davies.A.S A Comparison of Tissue Develop ment in Pierrain and Large White Pigs fro m Birth to 64kg Live Weight.2，Gro wth Changes in Muscle Distribution［J］.Ani mal Production，1994，19；377－387.

［2］中国金属学会，中国有色金属学会.金属材料物理手册（第一册）［M］.北京：冶金工业出版社：65－117.

［3］潘人培主编.物理实验，实验册三［M］.南京：东南大学出版社，312－417.

［4］谌正艮，赵青生，杨明，等.杨氏模量调节若干问题探讨［J］.大学物理实验，2012（4）：74－77.

［5］彭涛，王新春，王宇，等.电桥法测杨氏模量的实验研究［J］.大学物理实验，2011（1）：51－54.