类蛛网的相位同步

朱小龙，张海天

（1.江汉大学 物理与信息工程学院，湖北 武汉 430056； 2.民航湖北空管分局，湖北 武汉 430302）

0 引言

复杂系统由大量的个体以及个体之间的相互作用组成，例如社会系统、生态系统、交通系统等，对于复杂系统的研究是一个热门的和具有挑战性的课题。把复杂系统的个体对应为节点，把个体间的相互作用对应为边，则复杂系统可以抽象为简单模型——复杂网络。复杂系统与复杂网络的这种关系可以用简单的示意图来表示（见图1），而且复杂网络反过来又为复杂系统提供了一种研究方法。复杂网络的研究近十年来不断地深入和拓展，已经渗透到各个学科领域。

图1 复杂系统与复杂网络关系示意图

从一些实际的复杂网络系统人们已经发现一些普遍的结构特性，例如小世界性质［1］，即小的平均距离和大的团簇化系数；无标度性质［2］，即度分布服从幂律；团簇结构［3－5］，团簇内节点紧密连接而团簇间节点连接较为稀疏。但是以上这些性质还不能完全描述一些具有特殊结构的实际系统，例如社会组织网络、层级管理网络、城市交通网络和细菌生长网络等［6－8］。这就面临发现和建立新的复杂网络模型的问题。正是基于这一背景，笔者提出了类蛛网模型［9］，用来描述一些类似于环状结构城市和辐射状公路铁路网等具有辐弦结构的网络，以便研究这种特殊结构对复杂网络动力学性质的影响。

在集体涌现现象中，相互作用的多个体之间的同步，作为一种重要的复杂网络动力学性质一直受到特别的关注［10－12］，因为它在神经系统科学、生态学、地理科学以及工业系统科学等领域有着广泛的应用。不同的网络结构会对物理过程产生不同的影响，在过往的研究中，人们往往选择规则网络或随机网络，近年又有大量工作研究小世界网络和无标度网络上的相位同步现象［13－14］。然而，真实网络中广泛存在的辐弦结构对相位同步的影响如何，目前还没有相关研究。特别是在世界上有很多城市具有类蛛网结构，随着城市的发展，它们的规模一般以环状结构向外围拓展，但是一些城市功能（比如交通）的协调能力并不一定随之改善，糟糕的交通状况是困扰每一个大型城市的“噩梦”。现代城市的发展怎样才能做到空间扩展的同时还兼顾实现有效的功能协调，这是一个急需解决的世界性难题。本文将通过研究类蛛网的相位同步，从结构影响动力学性质的角度来探讨这一问题。

1 模型与方法

1.1 类蛛网模型

首先，在典型蛛网的基础上构建类蛛网模型。假设圆形蛛网的辐条数为f ，弦条数为g ，则辐弦数目比为f/g ，辐和弦的每个交点称为一个节点，所有的辐相交于中心节点，总的节点数为N=fg+1。 两节点之间的连接称为边，规则圆网的总边数为Ne=2fg=2(N-1)。以规则圆网为基础以一定几率添加一些边来构建类蛛网。类蛛网的新边添加符合以下规则：先选一个节点作为起始端点，再以几率φ 选一节点作为边的另一端点，操作禁止自连接和重复连接，重复以上操作遍及所有节点，则添加的边数为φN ，所以类蛛网的总边数为

平均度（即与节点相连边的平均条数）为

图2 给出了规则圆网和类蛛网的示意图［9］，其中辐条数f = 8，弦条数g = 4，图2（a）是规则圆网（φ=0），图2（b）是类蛛网，即以几率φ=0.1随机添加边。

这里添加连边概率φ 是指当以一个节点作为起始端点时添加连边的概率，即在规则圆网的基础上，依次把每一个节点作为起始端点以概率φ来进行添加连边的操作。 φ =0 表示都没有添加连边，即仍为规则圆网；φ=1 表示每一起始端点都成功添加一条连边；0 ＜φ ＜1 表示只有部分节点成功添加了连边。

1.2 相位同步

采用文献［15］中的方法，考虑一个由N 个耦合相位振子组成的复杂网络，其中第i 个振子的相位随时间演化方程为

其中θi是节点i 的相位，ωi是均匀分布的固有频率，常数λ ＞0 为网络节点间的耦合强度，a 为连接矩阵，如果节点i 和j 相连，aij为1，否则为0。

引入序参量r ，用来衡量N 个振子系统达到同步的程度。r 定义为

其中Ψ 代表系统的平均相位。序参量r = 0 时表示系统各个体的相位完全独立；r = 1 时表示系统全局同步。

在一定的耦合强度下，运用四阶龙格库塔法求解方程（3），可得θi，对（4）式两边取模可求得t 时刻系统的序参量r ，即

其中θj是时间t 的函数，即θj=θj(t)。假设t 时刻系统的r 值达到稳定，再运行T 时间步，就可得到r 稳定时的平均值，即

本文计算结果中的r ，都默认为已经做过时间平均后的结果。

2 计算结果与分析

本部分是类蛛网的相位同步的模拟，主要考虑3 个因素对相位同步的影响：耦合强度、边添加几率、辐弦比。网络大小N = 1 001，步长h =0.01，网络构型平均为30 次，稳定后时间平均取为1 000 步，即（6）式中的T 取为1 000。另外，节点的初态分布也会影响结果，所以要对不同的初态计算结果后再取平均，但考虑到节点数较多，初态分布的随机性对结果影响并不大，因此只取了30 次平均。

2.1 耦合强度对相位同步的影响

不失一般性，取辐数目f = 20，弦数目g =50，计算了边添加几率φ=0 和φ=1 两种特殊情况下的序参量r 随耦合强度λ 变化的情况。如图3（a）所示，φ=0，即规则圆网时，序参数r 随耦合强度λ 的变化情况。可以看出，序参数r 随耦合强度λ 的增大而增大，并且存在一个二级相变，耦合强度临界值λC=0.30 。耦合强度的增大加强了网络节点间的相互作用，有利于节点之间达到相位同步，导致网络全局序参数r 的增大。当耦合强度小于临界值时，节点间的相互作用较弱，相互间的相位协调很难传递至整个网络；而当耦合强度超过临界值时，节点间的相互协调作用能顺利传遍网络，使得整个网络的相位能够基本一致，从而达到全局的相位同步。

同时，还计算了φ=1 的类蛛网结构时，序参量r 随耦合强度λ 的变化情况。如图3（b）所示，序参数r 同样随耦合强度λ 的增大而增大，但临界值不一样，λC=0.15，并且r 的最大值也要比φ=0 时的大。说明φ=1 比φ=0 时网络更容易达到相位同步。也就是说不光耦合强度对相位同步有影响，随机添加边也会对相位同步产生影响。

图3 耦合强度对序参量的影响

2.2 边添加几率对相位同步的影响

保持其他参量的值不变，改变边连接几率的大小，研究了序参量r 随边添加几率φ 的变化情况，如图4 所示，其中N = 1 001，f = 20，g = 50，λ=0.2。由图4 可以看出，序参量r 随边添加几率φ 的增大而增大，即随机的添加边可以改善网络的相位同步。笔者分析主要有两个原因：一是根据（2）式节点的平均度会随φ 的增大而增加，即添加的边增多了网络间节点的联系；二是随机添加边相当于增加了网络节点间的远程连接。这两点都会减少网络的平均距离，间接地增强了节点间的相互作用，从而促进了网络的相位同步。研究结果说明，对于类蛛网结构的复杂系统，可以通过适当增加远程连接来改善整体的同步性能。

图4 边添加几率对相位同步的影响

2.3 辐弦比对相位同步的影响

前面已经介绍了辐弦结构是类蛛网特有的结构，因此笔者重点关注辐弦比f/g 对相位同步的影响。在其他参数不变时，改变辐弦比的大小，具体参数设定为λ=0.4，φ=0。有关λ 的选取，由图3 可知，耦合强度的临界值在0. 15 到0. 3 之间，我们取λ=0.4，此值在耦合强度的临界值之上，便于研究其他参数的影响。添加几率为0，即规则圆网，这样更方便研究辐弦比的影响。由图5 可知，序参量r 随着辐弦比f/g 的增大而迅速增大，辐弦比超过3. 5 以后，序参量大小基本稳定在0. 9 附近。在网络大小不变的情况下，辐弦比增大意味着辐条数变多而弦条数减少，网络的直径随之减小，节点之间的平均距离也变小，促进了网络节点间的相互作用。网络平均距离随辐弦比变化规律的曲线印证了这一点，平均距离随辐弦比增大迅速减小（见图5 插图）。这一结果说明，对于具有类蛛网结构的复杂系统，即使维持平均度不变，增加辐弦比仍然可以增强系统的相位同步性能。

图5 辐弦比对相位同步的影响

3 结论

研究了具有辐弦结构的类蛛网的相位同步，得出了如下几点结论：①类似于其他网络，耦合强度的增强会促进类蛛网的相位同步；②随机地添加边可以很好地提高类蛛网的相位同步；③增加辐弦比f/g 的值，可以改善类蛛网的相位同步能力。这些结果对于实际应用有一定指导意义。例如，城市在扩张过程中往往以环状结构向外围拓展，即环城线条数不断增加，但是由于空间限制纵向线路条数无法同时增加，导致辐弦比下降，整个交通系统的同步协调能力可能会随之减弱。这说明，城市功能的改善不能仅仅寄希望于空间上的简单扩张。

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