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双变量度量理论及引力的量子化

2013-12-23丹,邵亮,谢

关键词:重整引力曲率

邵 丹,邵 亮,谢 勇

(1.江汉大学 光电信息研究所,湖北 武汉 430056; 2.武汉科技大学 理学院,湖北 武汉 430081;3.江汉大学 研究生院,湖北 武汉 430056)

0 引言

圈量子引力(LQG)出现之前,引力量子化大体有两种途径。一种是利用引入其他场、延展体、超对称等方法,企图使引力量子化。这些方法中除超弦M-理论外,其余皆因解决可重整性问题无望而无法发展。而M-理论中,关于引力相互作用的核心问题,目前也欠全面和具体的阐明,完成引力的最终量子化,还需长期的过程。另一种是在引力体制内进行引力的量子化。这种方法历史上提出的具体模式很多,其中最被推崇的是4-导数引力。这种理论是把General Relativity(GR)中的微分同胚变换当作规范变换[1],将模式中的引力场用Faddeev 规范场量子化的方式量子化。其优点是可以用(引力)曲率平方项的引入消去引力的发散,理论在表现上具有可重整性。它需要解决的问题是,理论中存在负能量的粒子;若解决负能量问题,可能破坏S 矩阵的么正性。尽管如此,这一理论仍是协变方法实现引力量子化进行得最为彻底的一种理论。这一方法在引力量子化历史上曾引起不小的关注,如Rovelli 在文献[2]中回顾引力量子化简史时,曾例举过对Stelle[3]提出的4-导数引力量子化的评述。他指出,尽管4-导数引力存在需要进一步解决的问题,它仍被认为是解决量子引力问题的一种可行选择。Gambini 和Pullin 在文献[4]中谈到引力量子化的可重整性时,也指出了4-导数引力在作用量中引入高次项的方法可以用于治疗引力发散,不过应当去掉它为理论带来的非物理性质。同时,在论述空时性质时还指出,空时几何应具有非交换性质,这种性质与微观不确定性原理应相容。

利用量子化空时与引力的关系探讨引力的量子化,是LQG 发展出的一种新方法。这方面的一个例子就是Rovelli 的用空时4 单形剖分方法所做的引力子散射理论[5-6]。该理论把Regge 计算和量子场论中的连续场的量子化方法,利用空时的微观离散性质和四面体的量子特性,做了明确的推广。这开启了用量子化的空时研究引力量子化的先例。不过,理论中仍然存在自旋网顶角结网算子以及低能极限等的不确定性,需要进一步研究,目前还远非是理论上无需质疑的结果。

笔者认为,引力量子化与空时量子化及其微观性质有关。把空时量子化后的信息引入到引力量子化中来,可去掉或改善引力量子化遇到的困难,甚至如上困难。Rovelli 的上述工作,就是借用空时的量子剖分特性表述的一种引力的量子化。

针对如上现实,本文仍用作用量中的曲率平方项来抵消引力发散,不过曲率平方项并不取决于引力扰动,而是由量子化后空时的度量决定。从而理论中将不出现负能粒子,也不存在为了消去负能粒子而可能破坏么正性的问题。而且与其他高导数理论不同,它的引力部分保持与GR 相同,量子化后也不存在其他非物理结果。

1 空时与引力的双变量度量统一理论

1.1 双变量度量

本文中的空时与引力是在LQG 中发展出的两个完全不同的概念,空时并不指引力,引力也不指空时。Minkowski 空时M′ 是本文空时的平坦极限,一般空时可以弯曲,记以M 。 M 的弯曲是自身独立的弯曲,与其中引力的存在与否无关。GR 是把平坦Minkowski 空时M′ 的度规ημν和引力扰动hμν(x)结合在一起的空时与引力的统一理论。LQG 对空时量子化的研究表明,量子化空时M 自身的度量将允许有量子起伏,这里记为ημν(x),从而M 可具有与引力存在与否无关的弯曲,即空时弯曲。 M 中有引力扰动hμν(x)存在时,得到的流形记为M,即M 是空时与引力的二元世界。熟知,M′是M 的抽象平坦特例,M′中存在引力扰动hμν(x)时,得到的流形则记为M′。M′在本文中是空时M′与引力混成的4 维流形,而在GR 中被称为“弯曲时空”。

由于空时和引力都可使流形M 弯曲,据文献[7],M 的度量将由如下双变量度量构成:

式中重复相乘指标不求和,ημν(x)=εμν(x)ημν,εμν(x)为空时度量演变参量。当εμν(x)≡1 时,(1)式为GR 中的度规表达式。(1)式中的εμν(x)与hμν(x)分别是空时度量扰动与引力扰动,二者是独立的,都对组合度量ℊμν(x)有贡献。

1.2 双变量度量空时与引力统一理论的作用量与场方程

该理论研究的对象为空时与其中的引力,二者形成的二元世界M 的本体是空时M ,M 上的织绣是引力扰动hμν(x)。流形M 的度量为合成度量ℊμν(x),它的作用量为

将二元世界的作用量(2)式分别对引力扰动hμν(x)和空时度量扰动ημν(x)求变分,可得该统一理论的两组场方程。

将作用量(2)式利用通常变分原理

式中ℊμν为时空度规,Tμν为GR 的质量张量,将得到该统一理论的引力场方程

式中Gμν(hλσ)为统一理论的引力爱因斯坦张量,其表达式为

把作用量(2)式对空时度量扰动ημν(x) 变分,即

该统一理论的空时度量方程如下:

式中不同形式的曲率以及统一理论的空时爱因斯坦张量Gμν(ελσ),皆由组合度量(1)式中的ημν(x)规定,且皆作为基本变量εμν(x)的泛函。对于统一理论的空时爱因斯坦张量,它的表达式如下:

(7)式的意义在于,在该模式中,空时与引力虽然可以进行统一描述,但空时自身具有独立的演化机制,它是空时理论中的一组新方程。对空时M 这种演化机制的刻划,是该双变量理论的重要结果,也是它与GR 的重要区别。作为特例易知,Minkowski 空时M′ 是(7)式的一个特解;另外,Rμν=0 的空时也是(7)式的特解,而后者是可以弯曲的。

2 双变量度量空时与引力统一理论的引力量子化

根据作用量(2)式,利用通常的规范场协变量子化方法,可把该统一理论中的引力进行量子化。为此,选量子化Green 函数生成泛函Z 的规范固定项

式中λ 为规范固定参数,

鬼项与外场项分别为

式中ξ 为空时任意无穷小矢量。

利用(2)、(9)、(10)和(11)各式定义的拉氏量Lgr、Lst、Lgf、Lgh和Lef,可得到用于引力量子化的约简有效作用量为

式中Leff为该理论引力量子化的有效作用量,且有

求出该理论引力子自由传播子和各种散射传播子。这里把引力自由传播子和引力相互作用3 顶角给出于后。

对于引力子自由传播子,可将(2)式中的Lgr对hμν(x)完(引力扰动)展开,展开式中h2项将贡献这一传播子,同时规范固定项Lgf也将贡献这种传播子。现将结果直接给出如下:

类似地,将Lgr的展式中的h3项收集齐全,通过下式

可得该双变量统一理论中的引力子3 顶角,现将如此得到的一结果列出如下:

该理论中鬼与反鬼粒子的引入,是为了使理论具有最大完备性(对称性),这种粒子将参与相互作用描述,但并无观测效应,对其要求是保证理论自恰。

3 重整化

3.1 发散分析

该理论存在的引力自身的传播子,有2 点、3点、4 点、……散射传播子,由这些传播子按Feynman 规则编织出的相互作用图,将不可避免地出现由粒子动量标定的圈图,这些圈图在积分中的无穷大贡献必须用正规化和重整化手续消去。文献[3]已经用协变手段为4-导数引力的量子化得到了正规化结果,现直接给出如下:

式中Pμν为引力子的反对易外场。在LQG 体制下,解(20)和(21)这两组方程,将有[3]

式中Sμν和Tτσ是引力场hμν的任意Lorentz 协变函数。这里需要指出的是,该理论中虽然存在两个独立变量,但二者构成的仍是一个统一的度量。同时,由于Gauss-Bonnet(G-B)定理的存在,将使得(22)式中的泛函I(hμν)是hμν以及它的0、2、4 导数的任意规范不变的定域泛函。

3.2 发散消除

3.2.1 双变量度量理论的引力重整化Ⅰ——曲率0、1 次方型发散的消除 从发散表达式(23)和(24)可知,这一理论有关引力的发散共有4 种。我们先给出(23)式右侧第一项

对于I(n)中的第二项和第三项

与文献[3]不同,由于(2)式中的曲率平方项不是引力扰动hμν的泛函,而是εμνημν的泛函,利用εμνημν作为函数变量,并采取如上直接构成符号相反结构相同的抵消项来抵消(26)式中的曲率平方型发散,并不能保障数量上真正抵消。这是因为,与4-导数引力不同,这里的hμν和εμν是两个相互间独立的变量,而4-导数理论只具有hμν作为变量。从而,需要进一步使用不同的重整化技术。

3.2.2 双变量度量理论的引力重整化Ⅱ——曲率2 次方型发散的消除

1)组合度量的重整

首先从如下形式的组合度量

开始讨论。前面曾指出,组合度量(27)式是在微观Planck 尺度用等价类手段得到的结果。GR 是在宏观利用Riemann 几何,并通过等效原理,使这一组合度量中的引力扰动hμν(x),写在了平坦Minkowski 空时背景之上,从而有了GR 中的组合度规表式

这样一来,在GR 中便引入了平直度规ημν。同时,也把狭义相对论作为了它的极限(hμν→0)理论。我们认为,空时作为质地,它的度量εμν(x)ημν具有抵消引力扰动产生发散的作用。为此,它将有与hμν(x)等量的一部分度量被“消耗”。将这一部分记为(εμν(x)ημν)E,则数值上将有等式

这里称(εμν(x)ημν)E为空时重整化折合度量。这里需要指出的是,(εμν(x)ημν)E为εμν(x)ημν中折合出来的一部分,它在数值上与hμν(x)相当,但其本身并非是引力扰动,故而,不贡献引力子。这一性质十分重要,它可用于消除引力相互作用中出现的发散,且不出现负能粒子。另一方面,

中,因用于重整化而剩下的部分

2)作用量的重整

现在考虑作用量。在如上双变量组合度量的重整化方程式下,也将导致作用量(2)式发生改变。(2)式给出的经典作用量S 包括三部分贡献。其中LSO(3,1)在重整化过程中并不发生改变。重整化后的Lgr表达式未改变,不过其中的组合度量ℊμν(x) 需用重整化后的组合度量ℊμν,R(x) 代替。另一发生改变的是空时作用量Lst,现在给出Lst在这一重整化过程中的改变。它的表达式为

式中中间变量 εμν(x) 表征的是空时度量εμν(x)ημν。在考虑了如上组合度量重整化

后,由于组合度量ℊμν(x) 中的空时度量εμν(x)ημν被分解成两部分:

这将导致作用量Lst将分别由如下两个作用量代替:

式中

利用(35)式,把(36)和(37)式代入(2)式,将有考虑了如上重整化前、后的作用量改变

之后的双变量理论的作用量。把得到的这一作用量记为SR,则有

3)引力发散的最终消除

如上用逐阶抵消的方法,消除了(23)和(24)式给出的n 圈阶出现的全部发散。

4 结论

该双变量理论中,认为空时与引力是完全不同的两种概念,它们具有严格区别外,也存在联系[7]。GR 由于自身的体制不能把引力与空时彻底剥离,它的量子化无法找到适当方法得以有效地进行。本文在分别把它们用变量εμν和hμν做彻底的分离表述后,将量子化的空时质地M 提供的信息输入到引力的量子化方程式之中,自恰地克服了以往遇到的困难,完成了一种引力的量子化与重整化的最终研究。

该双变量理论中空时M 的几何以及描述引力激发与跃迁的几何均是LQG 中的非交换几何[9],从而为引力量子化的研究重新打下了合理的基础。

由于空时M 按G-B 定理提供的拉氏量Lst,与4-导数引力不同,是定义为空时变量εμν的泛函,从而重整化后,它一部分(即Lst,E)将用于抵消引力发散,而另一部分(即Lst,R)将支配空时M 本身的度量演化。这一方面使理论中的引力部分与GR 相同,不出现负能粒子;另一方面,也不再出现与现实物理不相容的多余结果。从而对传统高导数理论引力量子化遇到的问题进行了技术上的解除。解除的关键是把LQG 中空时量子化的信息引入到了引力量子化中来。这说明,引力并不像传递其他相互作用力的粒子那样,只把空时作为背景,即可实现自身的存在与量子化;而是告诉我们,引力与空时既有严格区别,又有相互间的深刻联系。这种区别与联系未阐明之前,引力的量子化不会得到成功。物理学告诉我们,引力场必须与描述空时的度规进行合成,才能得以彻底描述。这是引力的特征,不仅在宏观如此,在微观量子化水平更是如此。这也注定了引力量子化并不排除沿用通常场的量子化方法,但也必须考虑它的特殊之处,最主要的是考虑空时量子化与引力量子化间的关系。否则,按LQG,引力的量子化无法独立地获得与量子化空时自恰的结果。也就是说,要在空时与引力二者量子化的共同研究中,实现引力的量子化。

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