基于金属表面等离子激元的侧耦合半圆形腔－波导透射谱分析

徐兴恺，梁瑞生 ，于 哲，黄桥东，陈丕欣

(华南师范大学信息光电子科技学院，广东省微纳光子功能材料与器件重点实验室，广东广州510631)

金属表面等离子激元，是一种束缚在金属与介质的表面，并沿着界面传播，由光波和金属中的自由电子相互作用而产生的局域性电磁场［1－2］. 金属表面等离子激元具有高度局域的特点，可以突破衍射极限，目前已经成为实现高度集成全光网络最有价值和吸引力的研究方向. 近年来，许多基于金属表面等离子激元的功能结构被提出和研究，例如光开关［3］、马赫－曾德干涉仪［4－6］、定向耦合器［5－6］、分束器［7］、布拉格反射器［8－9］、波分复用器件［10－11］以及滤波器［16－21］.

滤波器是光通信网络中非常重要的功能器件.研究者们提出了多种结构来实现滤波器的功能，如侧耦合矩形谐振腔滤波器［12］、直耦合圆形谐振腔滤波器［13］、齿形结构滤波器［14］、基于环腔和圆形腔的分插－复用器件［15］. 根据其功能，可以分为选择透过型滤波器和选择截止型滤波器. 选择透过型滤波器允许某些特定波段透过［13］，其他波段截止，在波分复用系统中具有非常重要的应用［10－11］. 选择截止型滤波器仅在某些特定波段截止［12］，其他波段导通.

在集成光电子器件中，圆形结构容易加工，但其侧耦合效率偏低［15－16］，而采用半圆形腔并应用在侧耦合系统中其耦合效率明显提高，且加工容易.本文设计并研究了一种基于侧耦合半圆形腔的选择截止型滤波器，该滤波器是一种金属－ 介质－ 金属型(Metal－Dielectric－Metal，MDM)滤波器，利用半圆形腔的高侧耦合效率，实现良好的截止性能. 这种简单的结构易于实现纳米组装，尺寸可控制在纳米量级，在集成光子器件领域具有广阔的应用前景.

本文应用时域耦合模理论［17］和传输矩阵方法推导出单侧耦合半圆形腔的理论透射曲线，并分析了数值模拟结果和结构的各项参数对透射谱线的影响.引入双腔结构增强截止性能，并推导了双腔结构的理论透射曲线，对2 种结构的数值模拟结果进行了对比和讨论.

1 侧耦合腔－波导的理论透射谱推导

从时域耦合模理论出发，推导出单侧耦合腔－波导结构的传输变换矩阵，并利用传输变换矩阵求得结构的透射谱公式，为数值模拟结果提供理论基础.如图1 所示，单腔结构由一条直波导和一个规则的半圆形谐振腔组成，腔内和波导内填充电介质，并包覆金属银. 根据金属的杜鲁德模型(Drude model)给出银的色散方程下式:其中，ε∞= 3.7 为带间跃迁对介电常数的贡献，γ=0.018 eV 为电子碰撞频率，ωP=9.1 eV 为块材等离子共振频率. 色散方程与银在500～2 000 nm波长范围的介电常数吻合良好［18］. 结构的初始几何参数为:波导宽度W =50 nm，波导与半圆谐振腔之间耦合距离g =20 nm，半圆谐振腔的半径r =300 nm. S+1表示在谐振腔左侧由波导进入谐振腔的光波分量，S－1表示由谐振腔左侧耦合进波导的光波分量，S+2表示在谐振腔右侧从波导进入谐振腔的光波分量，S－2表示由谐振腔右侧耦合进波导的光波分量.

图1 单腔结构示意图Figure 1 Schematic diagram of the single semicircular cavity structure

根据时域耦合模理论，对任意谐振腔，其模式幅度a 可由下式表示:

其中ω0为谐振角频率，1/τ0表示由谐振腔的固有损耗引起的衰减，1/τe表示能量从腔内逸出导致的衰减.

图1 除了由腔逸出到波导的能量，波导中的能量也会进入到谐振腔中.谐振腔两端对称，并忽略波导的固有损耗，则有:

其中，κ 表示波导与谐振腔之间的耦合系数. 对于逸出谐振腔并在波导中反向传输的分量，可分别表示为:

在频域中，模式幅度可描述为da/dt=－jωa，代入式(3)，可求得:

联立式(4)、(5)可得到单侧耦合腔－波导的传输变换矩阵:

为了得到该结构的光强透过率，只在结构的左侧注入光波，右侧进入谐振腔的分量为零，可求得:

由式(6)可得光强透过率曲线在谐振角频率的附近呈洛伦兹线型. 当入射光波满足谐振腔的谐振条件时，透过率出现极小值，在光谱响应上会出现一个低谷. 曲线的一些特型可由式(6)求得. Tmin为最小光强透过率，FWHM 为半宽度，c 为真空中的光速，λ0对应于谐振腔的中心波长. 对于选择截止型滤波器，要求最小光强透过率尽可能小，FWHM 尽可能窄.

描述了结构的最小透过率、谱线半宽度等线型特性，这些线型特性都直接与谐振腔的固有损耗以及腔、波导间的耦合系数相关联.

2 单腔结构的数值模拟及分析

在图1 中结构的左侧放置一强脉冲TM 偏振光源，以激发金属表面等离子激元，右侧放置探测器，在结构的周围放置完美匹配层(perfectly matched layer，PML)，避免由边界反射的光波影响模拟结果.模拟算法使用二维时域有限差分方法［19］，并对时域结果进行快速傅里叶变换得到频率响应. 为保证模拟结果的收敛性，设置空间格点为2 mm×2 nm. 将该结果除以仅模拟一段直波导(不带半圆形谐振腔)所得到的结果来求得透过率曲线. 本研究中透过率单位为分贝(dB)，在初始条件下，设置电介质为空气. 获得单腔结构的透过率曲线(图2).

图2 单腔结构的透过率曲线Figure 2 The transmission spectrum of the single semicircular cavity structure

在600～2 000 nm 的光谱范围上，涵盖可见光和近红外波段，透射率曲线出现了2个低谷，表现出明显的选择截止型滤波器的曲线特性. 谐振腔在这一光谱范围上出现2个共振模式，分别命名为Mode1 和Mode2. 当入射光波长分别等于1 240 nm和790 nm 时，满足谐振腔的共振条件，被滤波器截止，从而在光谱上出现2个极小值(－12.4 dB 和－11.6 dB). 对应共振波长为1 240 nm 和790 nm，半宽度分别为78 nm 和67 nm. 因为谐振腔的固有损耗1/τ0≠0，极小值不可能趋于负无穷. 由式(7)可知，半宽度由1/τ0和2/τe共同决定，且谐振波长较大的模式会有较宽的半宽度. 入射光波长满足谐振腔共振条件时，结构的场强Hy分布如图3 所示.波长在1 240 nm 和790 nm 的光被截止，无法通过波导.

图3 谐振腔满足共振条件时的场强分布Figure 3 Field distribution of the structure when injected wavelengths satisfy the resontant condition

同时，研究了结构的几个参数对透射曲线的影响.图4A 为半圆腔谐振波长与半圆半径r 的对应关系(其他参数不变)，图4B 为2个模式的半宽度与半径的对应关系，图4C 表示半圆腔谐振波长与电介质折射率Nd之间的关系(其他参数不变)，图4D表示模式半宽度与电介质折射率的关系. 在图4A中，其他参数不变，当半圆形谐振腔的半径增大时，谐振波长出现红移，且谐振波长随着半径的改变呈线性变化，其变化范围涵盖了可见光波段和通信波段. 但是随着半径的增大，模式半宽度呈现出无规则变化. 若保持半圆半径和其他参数不变，仅改变谐振腔和波导中填充介质的折射率，谐振波长出现了类似的变化. 而且随着介质折射率的增大，2个模式的半宽度都呈现出增大的趋势. 通过调节半圆半径和填充介质的折射率，可以方便地控制透射谱线的线型.

图4 参数改变对透射曲线的影响Figure 4 Effect of the structure parameters on the spectrum

参数g 表示谐振腔与波导之间的距离，对谐振腔与波导之间的耦合效率影响非常大(图5). 随着g 的增大，谐振波长出现蓝移，透过率的极小值增大，半宽度变窄. 因为，当g 增大时，会导致耦合效率κ 减小，即2/τe减小，由式(7)可知，若2/τe减小，单腔内固有损耗不变，透射率极小值会变大，半宽度变小. 耦合系数变化时，会导致谐振腔有效折射率的变化［12］，从而使谐振波长蓝移. 通过调节半圆腔与波导之间的距离，可以方便地调制透射谱线的对比度和半宽度.

图5 腔与谐振腔之间的距离改变的透射谱线Figure 5 Transmission spectra with different gap between the cavity and the waveguide

3 双腔结构的理论透射谱及数值模拟

双腔结构如图6 所示. 2个半圆形谐振腔具有完全相同的几何参数，并位于波导的同一侧. 半圆腔半径r=300 nm，腔与波导之间的距离g =20 nm，波导宽度W=50 nm. L 表示双腔中心之间的距离，设置为700 nm.

图6 双腔结构示意图Figure 6 Schematic diagram of the double semicircular cavities structure

由时域耦合模理论及前文所推导的传输变换矩阵可得:

其中，δ 表示波导中光波由左侧腔中心传输到右侧腔中心引起的相位变换. λ表示真空中的波长，neff表示波导的有效折射率. 因为MDM 型波导损耗非常小，所以在推导中可以忽略因光波在波导中传输引起的衰减. 仅在该结构的左侧注入光波，则S+4=0.由方程组(8)可推出:

由式(9)可知双腔结构的光谱透过率极小值远小于单腔结构. 数值模拟所得光谱响应如图7 所示. 双腔结构的光谱响应由蓝色虚线表示，原单腔结构的光谱响应由实线表示，作为对比. 在2个共振模式中，双腔结构均表现出更高的对比度. 对于Mode1，谐振波长仍为1 210 nm，极小值为－34.6 dB，意味着只有不超过0.1%的能量透过波导，结构的截止效果非常好，谱线半宽度为122 nm. 对于Mode2，谐振波长为790 nm，极小值为－24.3 dB，半宽度为117 nm. 在非截止区域，透过率大于－0.7 dB，超过85%的能量可以透过. 同时结构尺寸依然维持在纳米量级，在集成光路和全光网络中拥有很高的应用价值.

图7 双腔结构的光谱响应Figure 7 Transmission spectrum of the double cavities structure

4 结论

本文设计了一种新的基于侧耦合半圆形谐振腔的表面等离子激元滤波器. 利用时域耦合模理论和传输变换矩阵，推导出该滤波器的理论透射曲线，并通过数值模拟得到实际结果. 讨论了几何参数对于透射谱线的影响，通过设计不同的几何参数和介质折射率，得到不同的截止波长、谱线半宽度、透射谱线极小值，在实际应用中具有很大的灵活性. 通过引入双腔结构，获得更高的透射谱线对比度，良好的波长选择和截止性能使器件在集成相干光通信、波分复用系统以及光学调制等领域具有非常广阔的应用前景.

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