数学家喜欢的棋盘趣题

林革

高莫瑞（Gomory，R，E）是当代应用数学家，也是美国著名的IBM公司的高级研究人员，曾担任经理、部门主任、研究部主任和副总裁之职。20世纪60年代，他以“割平面法”在运筹学的研究领域享有声誉。

从专业的角度而言，作为数学家的高莫瑞喜欢各类智力问题并不令人惊奇，因为这对于他的研究工作能起到一定的帮助作用。数学爱好者感兴趣的是，高莫瑞对各种染色问题情有独钟，对其中一些问题的研究和解答，充分显示出其深厚的数学功底。比如下面这则广为人知的“国际象棋问题”。

下图是一个8×8的国际象棋棋盘，已经将对角线上的两个方格切掉，数学家尝试用31张多米诺骨牌（是两个相连正方形的长方形牌）覆盖剩下棋盘上的62个方格，请问可以办到吗？

看上去这个问题很简单，可只要你动手操作一番后就会发现，无论你如何绞尽脑汁也不能达成题意的要求。事实上，这根本就是个不可能的问题。那是为什么呢？数学家揭示了其中的道理：

每一张骨牌也就是□□，放在棋盘上必然覆盖住两个相邻方格，即盖住一白一黑，所以31张骨牌盖住的肯定是31个黑格和31个白格。而国际象棋棋盘上相邻两格颜色不同（一黑一白），对角两格的颜色相同，那么切掉对角线上的两个方格后，剩下的是30个白格，32个黑格（或32个白格，30个黑格），显然不能被31张骨牌覆盖。不难看出，高莫瑞对于这个问题的分析直观形象，连小学生也能理解接受。

如果你是一个喜欢刨根问底的人，那么就会追问：问题不可能的原因，是由于切掉的是棋盘上两个颜色相同的小方格，那假如我们从棋盘的任何部位切掉两个颜色不同的小方格，那么剩下来的62格是否一定能被31张骨牌完全盖住呢？对此，高莫瑞的肯定回答毋庸置疑，因为数学家对此已经给出一个精妙妥帖的证明。而这个令人叹服的证明就是上面的这张棋盘路线示意图：

粗黑线条将整个棋盘转变为一条首尾相连、黑白格相间的封闭路线。通俗的形容就是，从某个方格出发，绕着这个回路走一圈后又回到起点方格（如上图中箭头所示）。从这棋盘上切掉任何两个颜色不同的方格，会让这个封闭线路变成两段线路。这就相当于在一个封闭的回路去掉两点，回路就成为两段；当然，如果切掉的方格是上下相连的，那就相当于去掉一点，回路就成为一段不封闭的线路。对此，你可以借助一个圆圈上去掉两点或一点来直观理解。

接下来的事情很简单，就是在这两段（或一段）线路中，可以清点出黑白相间的两种小方格的数量都是偶数。这就表明，线路一定能被若干张骨牌即□□覆盖。应该注意到，骨牌可以竖放也可以横放，这样转弯的地方也不会产生麻烦。到此，证明结束。被挖去黑白各一格的国际象棋棋盘，的确可以被31张骨牌完全覆盖。

这个生动有趣的棋盘问题是由著名的美国科普大师马丁·加德纳提出，数学家高莫瑞则给出了上述精彩巧妙的证明，一问一答前后呼应，相得益彰堪称绝配！