不断延伸的骨牌“跳台”

林革

多米诺骨牌是一项挑战智力、耐心和意志的益智游戏，许多张骨牌经过精心设计后挨个竖立，推倒第一张骨牌，其余骨牌发生连锁反应依次倒下，形成各种各样的图案或花纹。

现在，假设你的面前有一堆多米诺骨牌，请你做最简单的叠加，要求每两块之间要有一点错位，最终堆起一个倾斜度尽可能大的多米诺骨牌“跳台”（如图1）。很明显，类似于比萨斜塔，让骨牌“跳台”适当倾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。随着“跳台”高度的增加，“跳台”最上端的骨牌与最下面的骨牌之间错位距离会越来越大，叠加时需要越发小心翼翼，慢慢地一点一点错开，稍不留神，骨牌“跳台”就会土崩瓦解。

如果经过精心叠加后的骨牌“跳台”，最上面的那块在水平方向上与最底下的那块错开1块骨牌的距离，即相当于最上面一块骨牌已经完全悬空，这有可能吗？如果骨牌“跳台”最上面的那块和最底下的那块错开2块、4块、甚至10块……骨牌的距离，你觉得还有可能吗？

我们通过计算验证看看。

当两块骨牌叠加时，将上面那块骨牌伸出一半，而且它不会倒下，这是大家都能做到的。我们知道，上面那块骨牌的重心在它的正中间（图2中的虚线），而一旦这条线超过下面骨牌的边缘，“跳台”就会瓦解。

接着，加上第三块骨牌，把它放在最下端，距离合适就不会倒塌。上面两块骨牌的重心所在虚线，距离最底下骨牌一端的距离是[14]块骨牌的长度（如图3），这条虚线不超出最底下的骨牌，骨牌“跳台”就不会倒塌。

为了尽可能增大倾斜的角度，就需要尽可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的仅仅是：确保上面骨牌的重心不会超出最底下骨牌的支撑范围即边缘。这样，骨牌跳台伸展的幅度将越来越大。

图4就是5块骨牌形成的跳台。从图中不难看出错位的规律，从上往下相邻两块骨牌间伸出的距离分别是[12，14，16，18]……块，稍加计算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1块，这表明此种情形下，“跳台”最上面的那块骨牌，已经超出最底下那块骨牌的边缘，成功悬空。

如果是6块、7块……骨牌形成的“跳台”，我们可以类推得出，“跳台”最上面那块骨牌与最底下那块骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……块骨牌。理论上，这个叠加过程可以永远继续，那么最上面与最底下两张骨牌相隔的最大距离就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……这无数项的和，不难推想，这无数项的和应为无穷大。这就意味着，只要堆砌足够多的骨牌，“跳台”最上面的那块骨牌就可以伸展到任何距离。无论是与最底下的骨牌相距10块、100块，还是100万块、1亿块……骨牌的长度，理论上都可以实现。

这是不是个出人意料的结论？不过，这仅仅是理论上的推论，实际操作并不可行。因为要使“跳台”向外不断延伸，需要堆砌的骨牌数量将急剧增长。上面提到，最上面的那块伸出1块骨牌的距离，总共需堆5块骨牌；但如果要伸出2块骨牌的距离，总共就需堆32块骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3块骨牌的距离，总共需堆228块骨牌；伸出4块的距离，就需要堆积近2000块骨牌。这种数量增长是如此巨大，以至于当最上面的那块骨牌伸出最下面那块10块骨牌的距离时，骨牌“跳台”的高度已经超出了月球轨道。

多米诺骨牌是一项挑战智力、耐心和意志的益智游戏，许多张骨牌经过精心设计后挨个竖立，推倒第一张骨牌，其余骨牌发生连锁反应依次倒下，形成各种各样的图案或花纹。

现在，假设你的面前有一堆多米诺骨牌，请你做最简单的叠加，要求每两块之间要有一点错位，最终堆起一个倾斜度尽可能大的多米诺骨牌“跳台”（如图1）。很明显，类似于比萨斜塔，让骨牌“跳台”适当倾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。随着“跳台”高度的增加，“跳台”最上端的骨牌与最下面的骨牌之间错位距离会越来越大，叠加时需要越发小心翼翼，慢慢地一点一点错开，稍不留神，骨牌“跳台”就会土崩瓦解。

如果经过精心叠加后的骨牌“跳台”，最上面的那块在水平方向上与最底下的那块错开1块骨牌的距离，即相当于最上面一块骨牌已经完全悬空，这有可能吗？如果骨牌“跳台”最上面的那块和最底下的那块错开2块、4块、甚至10块……骨牌的距离，你觉得还有可能吗？

我们通过计算验证看看。

当两块骨牌叠加时，将上面那块骨牌伸出一半，而且它不会倒下，这是大家都能做到的。我们知道，上面那块骨牌的重心在它的正中间（图2中的虚线），而一旦这条线超过下面骨牌的边缘，“跳台”就会瓦解。

接着，加上第三块骨牌，把它放在最下端，距离合适就不会倒塌。上面两块骨牌的重心所在虚线，距离最底下骨牌一端的距离是[14]块骨牌的长度（如图3），这条虚线不超出最底下的骨牌，骨牌“跳台”就不会倒塌。

为了尽可能增大倾斜的角度，就需要尽可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的仅仅是：确保上面骨牌的重心不会超出最底下骨牌的支撑范围即边缘。这样，骨牌跳台伸展的幅度将越来越大。

图4就是5块骨牌形成的跳台。从图中不难看出错位的规律，从上往下相邻两块骨牌间伸出的距离分别是[12，14，16，18]……块，稍加计算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1块，这表明此种情形下，“跳台”最上面的那块骨牌，已经超出最底下那块骨牌的边缘，成功悬空。

如果是6块、7块……骨牌形成的“跳台”，我们可以类推得出，“跳台”最上面那块骨牌与最底下那块骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……块骨牌。理论上，这个叠加过程可以永远继续，那么最上面与最底下两张骨牌相隔的最大距离就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……这无数项的和，不难推想，这无数项的和应为无穷大。这就意味着，只要堆砌足够多的骨牌，“跳台”最上面的那块骨牌就可以伸展到任何距离。无论是与最底下的骨牌相距10块、100块，还是100万块、1亿块……骨牌的长度，理论上都可以实现。

这是不是个出人意料的结论？不过，这仅仅是理论上的推论，实际操作并不可行。因为要使“跳台”向外不断延伸，需要堆砌的骨牌数量将急剧增长。上面提到，最上面的那块伸出1块骨牌的距离，总共需堆5块骨牌；但如果要伸出2块骨牌的距离，总共就需堆32块骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3块骨牌的距离，总共需堆228块骨牌；伸出4块的距离，就需要堆积近2000块骨牌。这种数量增长是如此巨大，以至于当最上面的那块骨牌伸出最下面那块10块骨牌的距离时，骨牌“跳台”的高度已经超出了月球轨道。

多米诺骨牌是一项挑战智力、耐心和意志的益智游戏，许多张骨牌经过精心设计后挨个竖立，推倒第一张骨牌，其余骨牌发生连锁反应依次倒下，形成各种各样的图案或花纹。

现在，假设你的面前有一堆多米诺骨牌，请你做最简单的叠加，要求每两块之间要有一点错位，最终堆起一个倾斜度尽可能大的多米诺骨牌“跳台”（如图1）。很明显，类似于比萨斜塔，让骨牌“跳台”适当倾斜一定的角度而不至于倒下，是完全可以做到的。随着“跳台”高度的增加，“跳台”最上端的骨牌与最下面的骨牌之间错位距离会越来越大，叠加时需要越发小心翼翼，慢慢地一点一点错开，稍不留神，骨牌“跳台”就会土崩瓦解。

如果经过精心叠加后的骨牌“跳台”，最上面的那块在水平方向上与最底下的那块错开1块骨牌的距离，即相当于最上面一块骨牌已经完全悬空，这有可能吗？如果骨牌“跳台”最上面的那块和最底下的那块错开2块、4块、甚至10块……骨牌的距离，你觉得还有可能吗？

我们通过计算验证看看。

当两块骨牌叠加时，将上面那块骨牌伸出一半，而且它不会倒下，这是大家都能做到的。我们知道，上面那块骨牌的重心在它的正中间（图2中的虚线），而一旦这条线超过下面骨牌的边缘，“跳台”就会瓦解。

接着，加上第三块骨牌，把它放在最下端，距离合适就不会倒塌。上面两块骨牌的重心所在虚线，距离最底下骨牌一端的距离是[14]块骨牌的长度（如图3），这条虚线不超出最底下的骨牌，骨牌“跳台”就不会倒塌。

为了尽可能增大倾斜的角度，就需要尽可能多地在下面加入更多骨牌，要把握的仅仅是：确保上面骨牌的重心不会超出最底下骨牌的支撑范围即边缘。这样，骨牌跳台伸展的幅度将越来越大。

图4就是5块骨牌形成的跳台。从图中不难看出错位的规律，从上往下相邻两块骨牌间伸出的距离分别是[12，14，16，18]……块，稍加计算可知[12]+[14+16+18]=[2524]>1块，这表明此种情形下，“跳台”最上面的那块骨牌，已经超出最底下那块骨牌的边缘，成功悬空。

如果是6块、7块……骨牌形成的“跳台”，我们可以类推得出，“跳台”最上面那块骨牌与最底下那块骨牌相距[12+14+16+18+110]，[12+14+][16+18+110+112]……块骨牌。理论上，这个叠加过程可以永远继续，那么最上面与最底下两张骨牌相隔的最大距离就是[12+14+16+18+][110+112+114+116]……这无数项的和，不难推想，这无数项的和应为无穷大。这就意味着，只要堆砌足够多的骨牌，“跳台”最上面的那块骨牌就可以伸展到任何距离。无论是与最底下的骨牌相距10块、100块，还是100万块、1亿块……骨牌的长度，理论上都可以实现。

这是不是个出人意料的结论？不过，这仅仅是理论上的推论，实际操作并不可行。因为要使“跳台”向外不断延伸，需要堆砌的骨牌数量将急剧增长。上面提到，最上面的那块伸出1块骨牌的距离，总共需堆5块骨牌；但如果要伸出2块骨牌的距离，总共就需堆32块骨牌，[12]+[13]+[14]+[15+16+17+18]+……+[164]≈2.03>2；而若要伸出3块骨牌的距离，总共需堆228块骨牌；伸出4块的距离，就需要堆积近2000块骨牌。这种数量增长是如此巨大，以至于当最上面的那块骨牌伸出最下面那块10块骨牌的距离时，骨牌“跳台”的高度已经超出了月球轨道。