非齐次线性方程组解集的结构

杜青香,曾春娜

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

非齐次线性方程组解集的结构

杜青香,曾春娜

(重庆师范大学 数学学院，重庆 401331)

首先给出了有无穷多解的非齐次线性方程组的解集存在线性无关的生成元，然后给出了非齐线性方程组解集的另一表达形式，最后进一步研究了非齐次线性方程组解集的结构.

线性无关；基础解系；生成元；秩

引理1 齐次线性方程组(I)AX=0的解集M是Fn的子空间，称之为(I)的解空间，并且AX=0存在的n-r个线性无关的解向量ξ1,ξ2,…,ξn-r，使(I)的解集ξ1,ξ2,…,ξn-r可表示为：

n-rM=L(ξ1,ξ2,…,ξn-r)={k1ξ1+…+kn-rξn-r|k1,k2,…,kn-r∈F}，

则称ξ1,ξ2,…,ξn-r为齐次线性方程组(I)的一组基础解系，并且(I)的任意n-r个线性无关的解向量是基础解系.

M={ξ+k1ξ1+…+kn-rξn-r|k1,k2,…,kn-r∈F}，

其中ξ为AX=b的一个特解，ξ1,ξ2,…,ξn-r为导出组AX=0的基础解系[2].

知道非齐次线性方程组AX=b对线性运算不封闭且解集不含零向量，从而不可能是Fn的子空间，但仍希望非齐次线性方程组AX=b能像AX=0一样有一组线性无关的解向量，使得AX=b的任意解都能用这组解进行线性表示.

1 非齐次方程组解集的结构

定理1 设AX=b的一个解为η*，导出组AX=0的任意一组基础解系为ξ1,ξ2,…,ξn-r，则η*+ξ1,η*+ξ2,…,η*+ξn-r,η*是AX=b的线性无关的解向量[3].

定理2 假设AX=b存在无穷多解，则存在非齐次线性方程组(II)的n-r+1个线性无关的解向量k1(η*+ξ1)+…+kn-r(η*+ξn-r)+kη*=0，使(II)的其他解能唯一确定为：

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，

这里ki∈p,i=1,2,…,n-r+1,η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

证明设η*+ξ1,…,η*+ηn+1,η*是齐次线性方程组(I)的一组基础解系，η*是非齐次线性方程组(II)的一个特解.

令η1=ξ1+η*,…,ηn-r=ξn-r+η*,ηn-r+1=η*，根据我们的定理1：k1(η*+ξ1)+…+kn-r(η*+ξn-r)+kη*=0是(II)的n-r+1个线性无关的解向量，设η是(II)的任意解，根据引理2：

η=k1ξ1+…+kn-rξn-r+η*=k1(ξ1+η*)+…+kn-r(ξn-r+η*)+(1-k1+…-kn-r)η*

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1, 这里η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

因解向量η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1是线性无关组，如果η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1可以线性表示解集η，则η是由η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1唯一表示.

定义1 假设η1,η2,…,ηs是AX=b的一组解，如果非齐次线性方程组AX=b的任意解ξ能够用η1,η2,…,ηs线性表示，则称η1,η2,…,ηs为非齐次线性方程组AX=b解集M的一组生成元[4-5].

定理3 设AX=b存在无穷多解，则非齐次线性方程组 (II)的解集M存在线性无关的向量组η1,η2,…,ηs构成的生成元，使得M={k1η1+k2η2+…+kn-r+1ηn-r+1|k1,k2,…,kn-r+1∈F,k1+…+kn-r+1=1.

证明根据前面的定理2，则存在非齐次线性方程组(II)的n-r+1个解向量η1,η2,…,ηs,使得∀η∈M,得到

η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，这里η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，并且η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1.

反之,假设η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1，容易知道η=k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1仍为非齐次线性方程组(II)的解，所以η∈M.

因此M={k1η1+…+kn-r+1ηn-r+1|k1,…,kn-r+1∈F,k1+…+kn-r+1=1.

定理4 设AX=b存在无穷多解，则非齐次线性方程组(II)的解集M的任意线性无关的生成元所含向量的个数必为n-r+1[6].

证明假设ξ1,ξ2,…,ξs为AX=b的解集的任意一组线性无关的生成元，则ξ1,ξ2,…,ξs与η1,η2,…,ηs两个线性无关向量组是等价的，所以s=n-r+1.

2 齐次线性方程组与非齐次线性方程组解集的区别

齐次线性方程组的解向量是n-r个线性无关的向量，而非齐次线性方程组的解向量是n-r+1个线性无关的向量，它由非齐次特解和齐次方程的基础解系构成，并且非齐次线性方程组的任意n-r+1个线性无关的解向量并不一定是解集的生成元.但是任意两个非齐次特解之差总是齐次方程的解[7].

接下来举例说明：非齐次线性方程组AX=b有含n-r+1线性无关的解向量作成的生成元，但并不是它的任意n-r+1个线性无关的解向量都是解集的生成元.

例1 给出非齐次线性方程组(III)如下：

M={k1η1+k2η2}.

[1] 张禾瑞,郝邴新.高等代数[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2] 同济大学应用数学系.线性代数[M].4版.北京:高等教育出版社，2003.

[3] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨:黑龙江教育出版社，1996.

[4] 夏富泰.非齐次线性方程组解集的结构[J].邵阳师范高等专科学校学报，1999，21(2)：57-58.

[5] 郭泰祥.非齐次线性方程组解的性质[J].邵阳高专学报，1995，8(1)：5-6.

[6] 北京大学力学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：人民教育出版社，1978.

[7] 王文成.向量线性相关性的判定[J].西安邮电学院学报，2006,11(5):129-131.

OnStructureofSolutionSetofNonhomogeneousLinearEquations

DU Qing-xiang,ZENG Chun-na

(College of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing,401331,China)

This paper first gives the linearly independent generators for the solution set of non-homogeneous linear equations with infinitely many solutions,then presents another form of expression for the solution set of non-homogeneous linear equations,and finally studies the structure of the solution set of non-homogeneous linear equations.

linear independence;basic set of solutions;generator; rank

2013-04-13.

重庆市教委项目(KJ130614);重庆师范大学项目(12XLB026).

杜清香(1989- )，女，硕士生，主要从事最优化理论与应用的研究.

0151

A

1008-8423(2013)02-0179-03