一道高等数学不等式习题的新证法

王坤

【摘 要】本文利用微分中值定理，对文[1]的一道不等式证明题给出了另外一种证明方法。

【关键词】不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

0.引言

在高等数学里，我们可以构造辅助一个函数，然后根据导数的正负号判断函数的单调性，即可证明一些不等式.此外，微分中值定理是高等数学里的一个重点和难点，对它有很多应用，其中的一个重要的应用就是可以用它来证明很多不等式.本文利用微分中值定理，对文[1]的P.183总习题三第11题里的两个不等式证明题，给出了另外一种证明方法。

1.题目及其常见证明方法

这里的题目是要求证明下面两个不等式：

（1）当0；

（2）当x>0时，ln（1+x）>；

许多习题解答参考书对上述不等式证明题，都给出了几乎一致的证法：构造辅助函数，利用导数在几何方面的应用，判断函数的单调性即得.例如文[2]的解答如下：

证

（1）设f（x）=，x∈（0，），则f'（x）==.

令g（x）=x-sin2x，g'（x）=1-cos2x>0，x∈（0，），所以g（x）在[0，]上单调增加，则当x>0时，g（x）>g（0）=0，从而f'（x）>0，得f（x）在（0，）上单调上升，当0f（x1），即>，也即>.

（2）设f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，f'（x）=ln（1+x）+1-=ln（1+x）+>0（x>0），所以f（x）在[0，+∞]上单调增加，当x>0时，f（x）>f（0）=0，所以

（1+x）ln（1+x）-arctanx>0，即ln（1+x）>.

2.新证明方法

下面利用微分中值定理来证明上述题目.

证（1）令f（x）=tanx，则f（x）在[0，x1]?[0，x2]上满足拉格朗日中值定理条件，于是?ξ1∈（0，x1），S.T.

0

成立；

同理，?ξ2∈（0，x2），S.T.

0

成立.

②÷①，即得：

当0.

（2）设f（t）=ln（1+t），g（t）=arctant，则f（t），g（t）俱在[0，x]上连续，在 （0，x）上可导，由柯西中值定理，得：?ξ∈（0，x），S.T.

0

0

④÷③，得：

=<1+x，由于ln（1+x）、1+x均大于零，故对上式变形，即得：

当x>0时，ln（1+x）>.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：183.

[2]彭辉，叶宏，张焕玲.高等数学习题详解[M].天津：天津人民出版社，2008：137.