轮流射击比赛规则中的概率问题

赵纪青

(1鹤壁职业技术学院公共基础部 河南鹤壁 458030；2河南大学数学与信息科学学院 河南开封 475004)

1 提出问题

甲、乙两人射击水平相当，对同一目标轮流射击，若一方失利，另一方可以继续射击，直到有人命中目标为止，命中一方为该轮比赛的优胜者，问题：先开始射击者，是否赢得比赛的可能性较大？ ……

2 模型假设

假设甲先开始射击；

假设甲、乙两人的每次射击独立，都能正常发挥水平；

3 符号约定

甲、乙命中目标的概率为p，失利概率为q,0

Ai=“第i次甲射中”，Bi=“第i次乙射中”，i=1,2,3，……；

A= “甲先射中”，B=“乙先射中”.

4 建立模型

考察在轮流比赛规则中，甲先射击是否赢得比赛的可能性较大，只需要计算出甲、乙先射中的概率即P(A)、P(B)，然后比较大小，概率大的一方赢得比赛的可能性较大.建立甲先射中的概率模型：

=p+q2p+q4p+q6p+q8p+…

(1)

5 模型推广

模型(1)是在甲、乙两人射击水平一样的情况之下，说明了先射击者甲赢得比赛的可能性较大，对本身而言先射击能提高赢得比赛的概率.如果甲、乙两人的射击水平不一样时，是否会出现同样的结果？本文在同样的假设之下对这个问题进行详细地探索.

5.1 符号约定

甲、乙命中目标的概率分别为p1,p2，失利的概率分别为q1、q2，0

5.2 建立模型

(2)

当p1>p2时，即甲的射击水平高于乙的射击水平，此时有：

p1(1-p1)>p2(1-p1)以及p1>p1(1-p1)，所以p1>p2(1-p1)，于是有结论：射击水平较高的先射击者甲赢得比赛的可能性较大.

当p1

为了研究对于本身而言先射击是否提高了赢得比赛的概率，则假设“甲后射击赢得比赛”为A′，建立A′发生的概率模型

(3)

6 主要结论

7 优化比赛规则

从主要的结论可以看到这种比赛规则因为比赛的先后顺序不同，而影响赢得比赛的概率有所变化，从而一定程度上影响了比赛公平性，类似的情况还会出现在五子棋、跳棋、围棋、象棋等轮流比赛中，这方面的问题值得进一步的研究，进而优化比赛规则.基于本文的比赛规则，提出的优化方案一，即设置两个目标，甲、乙分别射击目标n次，命中次数多的为赢家；优化方案二，即甲、乙分别有5个目标，以命中自己的全部目标而总的射击次数少的为赢家.

参考文献：

[1]谢兴武，李宏伟.概率统计释难解疑[M].北京：科学出版社，2008.16.

[2]蔡银英.羽毛球比赛中的概率问题[J].重庆教育学院学报，2011，24(6)：148.

[3]茆诗松，程依名，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2011.56.